109 Bevisers Alraindeliggorelse; infinitesimale Opgaver. 307 



Størrelse. Al nu dog denne Formening kræver el Bevis, liar man, som Begyndelsen 

 af Euki.id's X. Bog viser, erkendt allerede i det førnævnte specielle Tilfælde, idet 

 Sætningen X, 1. eller (hvad den maalte være, saalænge den ikke udlededes af V., 

 Def. 4.) „Postulatet" X, 1. er sat i Spidsen som Grundlag for Bevisel for, at lo Stør- 

 relser, der giver en uendelig Antanairesis, er inkommensurable. Saa meget mere 

 nødvendigt var det ogsaa al bygge den almindelige Paastand om Ligeslorhed af For- 

 hold med samme Antanairesis paa samme Forudsætning. Dermed var det andet 

 Trin, bevist Grænseovergang, naael. Al delle allerede var skel paa Aristoteles' 

 Tid'), fremgaar af hans all omlalle Kendskab til Euklu) V, Def. 4. og X, 1. 



Vor Formodning om, al den græske Malhemalik ogsaa har laget delte Mellem- 

 trin med, inden den naaede til V. Bogs Bestemmelse af Ligestorhed af Forhold, har 

 allsaa bekræftet sig. Idel Alexandros paa del nys anførte, af Heiberg citerede, 

 Sted gentager Aristoteles' Definition paa lige store Forhold, meddeler han, at de 

 gamle {ol åpyaioi) brugte den. Dette er saaledes sket, før man gik over til den 

 Definition, som opstilles i Euklid V, Def. 5., og dermed til det af os betegnede 

 I red i e Trin. 



Forskellen mellem den hos Aristoteles og hos Euklid angivne Definition 

 kan belegnes som en Forskel mellem Analyse og Synthese. Ved at anvende en 

 Antanairesis paa Forholdet mellem lo forelagte Størrelser anvender man samme 

 Operation, som naar Forholdet mellem to kommensurable Størrelser skal forkortes, 

 til muligvis at sætte simplere Forhold i Stedet. Del sker ved Divisioner, eller ved 

 sukcessivt at subtrahere Multipla af den ene fra den anden. Er Størrelserne inkom- 

 mensurable, lykkes det ikke al komme til Ende hermed; men to Forholds Lige- 

 storhed viser sig ved, al Operationen anvendt paa dem stadig giver samme Resul- 

 tater. Om den derved konstaterede Ligestorhed, som er fundet ved gentagne Divi- 

 sioner, er tilstede, kan man omvendt prøve ved Multiplikation af Forholdenes 

 Led. Derved kommer man til den euklidiske Definition V, 5. paa Forholdenes Lige- 

 storhed, som giver den synthetiske Prøve paa Resultatet af den nævnte Analyse- 

 At den kan gennemføres, er sikret ved Definition V, 4.; denne udtrykker, al man 

 ved Multiplikation af en Størrelse kan naa udover en anden, og giver saaledes en 

 Prøve paa X, 1 , der udtrykker, al man ved sukcessive Subtraktioner eller en der- 

 med ensgældende Division af den anden kan naa ned under den første. 



Stedet hos Aristoteles gør det sandsynligt, at endnu Theudios har anvendt 

 den „archaiske" Definition paa Ligestorheden af to Forhold^). Denne har let kun- 

 net anvendes til al bevise Sætninger om Proportionalitet af geometriske Størrelser; 

 saaledes kan man i del af Aristoteles nævnte Exempel se, at de til Forholdet 



') Herved bortfalder den Formodning, som jeg fremsætter i Oversigt 1915 S. 354, om at muligvis 

 forst Euklid skulde have bemærket Nødvendigheden af at anvende X, 1 til at begrunde det af Theodoros 

 og Theaitet anvendte Kendetegn paa Inkomniensurabilitet. Dette turde tværtimod liave været et af de 

 første Tilfælde, hvor man har set Nødvendigheden af et Bevis for den benyttede Grænseovergang. 



'-') Hermed passer ogsaa de i Heibeho: Mathematisches zu Aristoteles S. 11 anførte Steder lige- 

 saa godt som med Anvendelse af den euklidiske Proportionslære. 



