308 XI. Kapitel. 110 



mellem Sider og Forholdet mellem Arealer hørende Antaiiaireses følger hinanden 

 Skridt for Skridt, og paa lignende Maade gaar det med de fleste af de i Euklid VI 

 opstillede Sætninger, der direkte angaar Proportionalitet og Ligedannethed. Men 

 Antanairesis er i sig selv en vidtløftig Operation og giver derfor et mindre over- 

 skueligt Kendemærke end den i Euklid V, Def. 5. angivne Multiplikationsprøve. 

 Den sidstes Anvendelse paa et bestemt Tilfælde lader sig derfor udtrykke med 

 større Præcision. Og at bygge en saa almindelig og abstrakt Lære om Propor- 

 tioner og disses Omdannelse som den, vi finder i Euklid's V. Bog, paa gentagen 

 Anvendelse af Antanairesis turde blive vidtløftigt og er næppe gennemført. 



Euklid's Proportionslære beror derimod paa en konsekvent gennemført Brug 

 af den i V, Def. 5. og 7. nøjagtig beskrevne Multiplikationsprøve. Naar derfor Hei- 

 BKRG i denne nærmest blot ser en bedre Formulering af den Prøve paa Ligestorhed 

 af Forhold, som findes hos Aiustoteles, og mener, at denne Forbedring kunde 

 skyldes Euklid, vilde dette føre til en Konsekvens, som Heiberg vel næppe vilde 

 tage, nemlig at det Mesterstykke, som Proportionslæren i V. Bog er, hovedsagelig 

 skulde skyldes Euklid tværtimod den Tradition, som fører den tilbage til Eudoxos. 

 Denne Tradition, der kommer til Orde i el Scholie til Euklid's Elementer'), turde 

 i alt Fald være rigtig for Grundlagets Vedkommende, hvad derogsaa stemmer med, 

 at Archimedes, der nævner Eudoxos som den, der har opstillet Grundlaget for Infini- 

 tesimalundersøgelser, andelsteds meddeler del dertil tjenende Postulat i den Form, 

 som det har i V. Bog, medens Eudoxos udenfor Proportionslæren rimeligvis, som 

 Euklid i XII. Bog, har anvendt dets Omdannelse til X, 1. 



Den Omstændighed, at Aristoteles dog ikke viser noget Kendskab til den 

 Form for Proportionslæren, som er gennemført hos Euklid, men holder sig til den 

 „archaiske" Definition paa Proportioner, kan maaske forklares saaledes, at den nye 

 Definition vel var opstillet af Eudoxos indenfor Mathemalikernes Kreds og dens 

 Brugbarhed som Grundlag for en fuldstændig Proportionslære paavist, men at en 

 saadan endnu ikke var udviklet saaledes i sin fulde Sammenhæng, al Theudios 

 kunde bruge den i sine Elementer, og at Aristoteles kendte den eller kunde hen- 

 vise sine Disciple til den som Exempel. Hertil var da den ældre og mere kendte 

 Definition bedre egnet. Muligheden, ja. Rimeligheden for, at der gik nogen Tid 

 mellem Eudoxos' Opstilling af en ny Definition og en fuldstændig gennemført Brug 

 af denne, fremgaar ved en Sammenligning med Nutiden, hvor Dedekind's Opstil- 

 ling af Snilmethoden jo ikke straks medførte en gennemført Brug deraf i alle de 

 Tilfælde, for hvilke den er bestemt. Eudoxos kan derfor godt være Grundlægger 

 af den i Euklid V. indeholdte Proportionslære, medens en af hans Efterfølgere, 

 rimeligvis Euklid, har Æren for den konsekvente Gennemførelse af denne Lære, 

 som vi finder paa det anførte Sted. Et uundværligt-) Supplement til denne Lære, 



') Hf.iberg's Udgave af Euklid, V. S. 282,in. Det kan dog tænkes, at Scholiasten støtter sin An- 

 givelse paa det samme Sted lios Archimedes, som vi ogsaa her henviser til. 



'-) Herpaa gøres ogsaa opmærksom i min „Forelæsning over Mathematikens Historie'. (Dansk Ud- 

 gave S. 127, Tysk S. 145, Fransk S. 119), hvor Brugen af sammensatte Forhold tillige paavises. 



