Ill Bevisers Almindcliggorelse; infinitesimale Opgaver. 309 



der som Existensbevis efter det først ved Eudoxos' Discipel Menaichmos indførte 

 Princip niaatte føres ved en geometrisiv Konstruktion og derfor henvises til VI. Bog, 

 maa særlig antages at skyldes EuKLin. Det vedrører et Hovedpunkt af Proporlions- 

 læren, nemlig Dannelsen af sammensatte Forliold Euklid V., 22. (og 23.), denne 

 Form, hvorunder Multiplikation (og Division) af de ved Forhold fremstillede rene 

 Tal (i moderne Betydning) udføres. Ved Sammensætning af to Forhold forudsættes 

 det nemlig, at man har givet dem Formerne a: b og b : c, og det sammensatte For- 

 hold bliver da a : c. For altsaa at kunne anvende Sammensætningen paa et vil- 

 kaarligt Forhold e : f maa dette kunne skrives under Formen b : c. Dette bevises i 

 Euklid VI, 12. ved Konstruktion af fjerde Proportional til e. f og b. Ligeledes vises 

 Existensen af en Mellemproportional i VI, 13. ved dens geometriske Konstruktion. 



Kan der saaledes ikke siges noget bestemt om, hvor langt frem Eudoxos har 

 ført Proportionslæren, kan der ogsaa være nogen Tvivl om, paa hvor tidligt et 

 Trin, han har grebet ind. Theaitet, der, rimeligvis i Tilslutning til Theodokos, 

 har benyttet Antanairesis som Kendetegn paa, om to Størrelser er kommensurable 

 eller ej (Oversigt 1915, S. 356), maa have anvendt den samme Proces til at prøve, 

 om to Forhold er ligestore eller uligestore, et Spørgsmaal, som han for Anvendel- 

 sernes Skyld ikke kan have ladet ubesvaret. Om hans Behandling af Proportioner 

 dermed har staaet paa det første eller andet af de af os betegnede Trin, beror 

 dels paa, om han blot stiltiende har benyttet dette Kendetegn eller udtrykkelig ud- 

 talt det, dels paa, om han har været opmærksom paa, at Brugbarheden af dette 

 Kendetegn saavel som det i Euklid X, 2. opstillede Kendetegn paa Inkommensur- 

 ai)ililet afhænger af en Anerkendelse af den i Euklid X, 1. opstillede Sætning, og 

 om han udtrykkelig har opstillet denne. I saa Fald har det dog vistnok været som 

 Postulat; thi der er næppe Grund til at tro andet, end at det er Eudoxos, der ved 

 en yderligere Analyse har fundet, at man kan gaa tilbage til det i V, Def. 4. op- 

 stillede Postulat og deraf udlede X, 1. som Sætning. At det i hvert Fald er Eudoxos, 

 der udenfor Proportionslæren har anvendt X, 1. til saadanne infinitesimale Bestem- 

 melser som dem i Euklid XII, er efter Archimedes' Vidnesbyrd ganske utvivlsomt.- 



Som man vil se, er det kun Spørgsmaal om de enkelte Personers Andel i de 

 forskellige Fremskridt, der kan underkastes Tvivl. Saadanne vil imidlertid aldrig 

 udeblive, naar forskellige Personer staar i nogen Forbindelse under deres Arbejde 

 paa samme Sag (smlgn. Fremskridtene i det XVII. Aarhundrede). Den historiske 

 Rækkefølge af selve Fremskridtene turde derimod være godt opklaret ved de spar- 

 somme Oplysninger, som vi har om den Tid, der gaar forud for Euklid's Elementer. 

 Af disse Oplysninger er det anvendte Sted hos Aristoteles et værdifuldt Led. 



