310 XII Kapitel. 112 



Kap. XII. 



Almindeliggørelse af Sætninger; Brug af Ligninger 



af 2. Grad. 



I Aristoteles' Analytica Posteriora I, 5. opstilles den Fordring, al de Forudsæt- 

 ninger, under hvilke en Sætning bevises (og udtales) bør være de almindeligste, 

 under hvilke den samme Sætning gælder. I Geometrien maa dette Krav gaa ud 

 paa, at den Figur, som en Sætning gælder, bør være den almindeligste Figur, for 

 hvilken, den er rigtig. Det oplyses ved følgende geometriske Exenipel (Aristoteles 

 74" 13): Hvis nu nogen har vist, at de rette Linier vinkelrette (paa en og samme 

 Linie) ikke skærer hinanden, kunde det synes, at hans Bevis gjaldt paa Grund af, 

 at de alle er vinkelrette; men saaledes forholder det sig ikke; det gælder ikke, fordi 

 de netop paa denne Maade danner ligestore Vinkler, men fordi de overhovedet dan- 

 ner ligestore Vinkler. Aristotelks, som paa dette Sted henter flere Exempter fra 

 Geometrien, udtaler vistnok her og mange andre Steder, hvad Geometerne, særlig 

 de, der arbejdede paa den Reform, som beskæftiger os, selv gjorde gældende. Men 

 hans Fremsættelse og Almindeliggorelse af denne oprindelig geometriske Regel maatle 

 bagefter give den forøget Autoritet, ikke mindst for Elementforfatteren. Euklid har 

 da ogsaa fulgt den og særlig i sin VL Bog benyttet den ved den almindelige Pro- 

 portionslære i V. givne Lejlighed til Almindeliggørelse af de opstillede geometriske 

 Sætninger. 



Et Exempel herpaa er Almindeliggørelsen af den pytliagoreiske Læresætning 

 i VI, 31., hvor Kvadraterne paa Siderne i en retvinklet Trekant ombyttes med lige- 

 dannede Figurer paa disse Sider. Naar Proklos (S. 426,12) udtaler sin særlige Be- 

 undring af denne Sætning, kan jeg i visse Maader tiltræde denne Beundring. Det 

 er dog ikke, fordi den paa det Tidspunkt kunde antages at udvide den geometriske 

 Viden væsentlig. Saaledes sætter allerede Hippokrates med saa stor Frihed lige- 

 dannede Afsnit i Stedet for Kvadraterne paa deres Korder, at han sikkert ikke kan 

 have været i nogen Tvivl om Gyldigheden af det i VI, 3L opstillede Theorem; 

 men Opfattelsen af den egentlige pythagoreiske Sætning som et specielt Tilfælde 

 af den udvidede har en stor intellektuel Værdi derved, al man i Overensstem- 

 melse med Aristotells' Udtryk paa det anførte Sted kan sige, at det i den pytha- 

 goreiske Sætning ikke er paa Grund af, al Figurerne paa Siderne i den retvink- 

 lede Trekant netop er Kvadrater, men paa Grund af, at de i deres Egenskab af 

 Kvadrater er ligedannede, at Hypotenusens Kvadrat bliver lig Summen af Ka- 

 theternes. 



Der gives imidlertid ogsaa Tilfælde, hvor en saadan Almindeliggørelse nærmest 

 virker forstyrrende, fordi Sætningen netop faar sin Brugbarhed ved at anvendes 



