113 Almindcliggøielse af Sætninger. 311 



pan (le mere specielle Tilfælde, og hvor Almindeliggørelsen afleder Opmærksom- 

 heden fra denne Brugbarhed. Delte er en Anledning til særlig at fremhæve 

 den egentlige pythagoreiske Sætning, og i det af Aristoteles nævnte Tilfælde 

 vil det ofte være bekvemmere at bestemme Paralleler som dem, der staar vinkel- 

 rette paa en given Linie, end som dem, der danner en anden given Vinkel med 

 en anden. Saaledes har det vel stor intellektuel Interesse, at rette Linier be- 

 stemmes paa samme Maade i et skævvinklet Koordinatsystem som i et retvinklet, 

 men naar Koordinatsystemet blot skal optræde som Hjælpemiddel ved geome- 

 triske Undersøgelser, vil man dog jævnlig forelrække el retvinklet, .som det, der 

 samtidig giver en simplere bestemmelse af Afstande og Vinkler, samt af Cirkler. 

 Af lignende Grunde kan vi ikke ubetinget prise den almindelige Skikkelse, .som 

 EuKUD i VI, 28.-29. har givet de .saakaldte Fladeanlæg og i VI, 27. den til det 

 første af disse svarende Mulighedsbetingelse, idel han ombytter Rektangler med 

 Parallelogrammer med en given Vinkel og det manglende eller overskydende Kva- 

 drat med el Parallelogram, hvori tillige Siderne staar i et givet Forhold. Som For- 

 fatter af „Elementer" med det videnskabelige Formaal at danne Grundlaget for videre- 

 gaaende Under.sogelser kan EiiKun vel føle en vis Forpligtelse til at gøre sine Sæt- 

 ninger saa almindelige som muligt; desto mere kan der da bygges paa dem. Men 

 paa samme Tid skjuler Almindeliggørelsen af disse Sætninger del algebraiske For- 

 maal, for hvilket de var bestemte, og som paa en simplere Maade opfyldes af de 

 simple F'ladeanlæ.g. Disse falder ganske sammen med den nu brugelige algebraiske 

 Løsning, naar man blot ombytler deres Rektangler og Kvadrater med Produkter 

 og anden Potens, deres Bestemmelse af en Side i en retvinklet Trekant, hvis lo- 

 andre Sider er givne, med en Kvadralrodsuddragning. 



Den pythagoreiske Sætning var allerede i I. Bog fremsat i sin simple Skikkelse, 

 og der havde allerede været rigelig Lejlighed i II.— IV. Bog til al vise de Anven- 

 delser, som man kan gøre af den netop i dens ikke almindeliggjorte Skikkelse. 

 Ligeledes var parabolske Fladeanlæg og et Rektangels Omdannelse til el Kvadrat, 

 eller, som vi nu siger, Løsningerne af Ligningerne ax = bc og .r- = ab i I. og II. 

 givne i deres algebraisk-geometriske Form, før de i VI, 12. og 13. behandles ved 

 Proportioner. Derimod er Ligningerne ax — x" = fcc og i ax + x-^ = bc, hvis geo- 

 metriske Fremstilling og hvis Løsning er indbefattede i de almindeliggjorte Flade- 

 anlæg VI, 28. og 29., ikke forud opstillede i deres oprindelige .simple Skikkelse, 

 om end deres Tilknytning til den geometrisk-algebraiske Behandling tydelig frem- 

 gaar af II, 5. og 6. 



Del er dog udelukkende i denne simplere Skikkelse, at Euklid virkelig an- 

 vender Fladeanlægene, hvad han gør i rigt Maal i X. Bog. Foruden Afslutningen 

 af Theaitet's Undersøgelse af Rodslørrelsers Irrationalitet indeholder denne en 

 Klassilikation af de Størrelser, som er irrationale ved Kvadratrod. Udtalt saa- 

 ledes falder denne InddeUng delvis i Øjnene ved Brug af det moderne Kvadratrods- 

 tegn, men ogsaa kun delvis, idel Udtryk af visse Former kan reduceres lil andre, 

 navnlig ved at hæve dobbelt Irrationalitet. Euklid, der omhyggelig medtager saa- 



41 



U. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd.. 8. Kække, I i. 



