312 XII. Kapitel. 114 



danne Reduktioner, danner de samme Størrelser ved Løsning eller sukcessive Løs- 

 ninger af Ligninger af 2. Grad. Det er disse, der ved at gøres til Fladeanlæg opstilles 

 som Ligninger af 1. Grad mellem Rektangler og Kvadrater, og efter Sætningerne 

 om Fladeanlæg fores tilbage til Angivelse af en Konstruktion; men at Spørgsmaalet 

 er om de fremkomne Størrelsers Kommensurabilitet med givne Størrelser eller ind- 

 byrdes, viser, at der ogsaa tænkes paa Anvendelsen paa numeriske Ligninger. 



Under disse Omstændigbeder er del, at X. Bog kommer til at indebolde saa 

 mange Fladeanlæg, nemlig i 17, 18, 54, 55, 91 — 101. Idet Undersøgelsen i sig selv er 

 algebraisk, niaa Euklid her ogsaa paa anden Maade foretage algebraiske Omdan- 

 nelser, som man nu vilde foretage ved Algebraens nuværende Symboler, men som 

 Euklid maa fremstille ved den geometriske Algebras Rektangler og Kvadrater. Som 

 omtalt i VII. Kapitel har Euklid vel i II. Bog fremsat og bevist nogle af de Sæt- 

 ninger, der ligger til Grund herfor, navnlig Konstruktionen af en Gnomon, og dertil 

 føjet nogle geometriske Anvendelser som han har øjeblikkelig Brug for; men disse 

 Sætninger giver ikke en direkte Fremstilling af Methoden. Naar Euklid vil bruge 

 den i sin synthetiske Fremstilling, og naar det, han vil bruge, ikke allerede inde- 

 holdes i Sætningerne i II. Bog, maa han give det Form af Hjælpesætninger, om det 

 end beror paa en nok saa simpel Anvendelse af Methoden. Af saadanne Hjælpe- 

 .sætninger træffer vi derfor flere i X. Bog, saaledes til Bevis for Sætningerne 17, 

 22, 29, 33, 54, 60. 



Den geometriske Algebra viser sig .saaledes at være en Methode, som Euklid 

 har til Raadighed, hver Gang han har Brug for den. Da beviser han i sin sæd- 

 vanlige synthetiske Form de af dens Sætninger, som han skal bruge og ikke tid- 

 ligere har bevist; men et saadant Overblik over disse Sætninger, som særlig vilde 

 vejlede ved Anvendelse af Methoden, giver han derimod intetsteds. Det vigtigste 

 før hans Tid vundne Udbytte af denne, nemlig Løsningen af Ligninger af 2. Grad 

 i Form af Fladeanlæg, har det vel hørt med til hans Formaal at bevise ogsaa for 

 dets egen Skyld. Dette viser sig ikke mindst ved hans Bestræbelse for at give det 

 en saa almindelig Form som muligt; men trods hans flittige Brug af de deri ind- 

 befattede simple Fladeanlæg finder han det ikke engang fornødent at opstille disse 

 som Koronarer til de almindelige, som han dog ikke bruger i den almindelige Form. 

 Alt dette tyder paa, at Euklid ikke blot selv har haft, men ogsaa hos sine Lær- 

 linge har turdet forudsætte en større Færdighed i Anvendelse af den geometriske 

 Fremstilling af Algebraen, end nu Læsere af Euklid, der mener hos ham selv at 

 skulle finde Omfanget af hans Hjælpemidler direkte paapeget, ofte antager. Under 

 disse Omstændigheder vil Rækkevidden af hans algebraiske Hjælpemidler yderligere 

 være forøget ved den almindelige Behandling af Proportioner, der tillader en Frem- 

 .stilling af Produkter med et hvilketsomhelst Antal Faktorer ved Hjælp af sammen- 

 satte Forhold. De almindeliggjorte Fladeanlæg i VI. Bog, hvilke Euklid dog som 

 .sagt ikke selv tager i Brug, vil paa denne Maade fremstille en Ligning af 2. Grad 

 med Koefficient til det kvadratiske Led (se Kcglesnitslæren i Oldtiden 1. Afsnit). 



Af det her anførte Skrift ses, al det er ved gennemgaaende Brug af den ved 



