115 Almindeliggørelse af Sætninger. 313 



Hjælp af Pioporlionslæreii udvidede geometriske Algebra, at Apollomos har kunnet 

 gennemføre de omfattende Undersøgelser, som hans „Keglesnit" indeholder. Paa 

 dette Sted bor vi imitilertid især fremdrage de Kendetegn paa Færdighed i alge- 

 braiske Undersøgelser i geometrisk Form, som allerede Euklid lægger for Dagen 

 udover, hvad han deraf har faaet Brug for i „Elementerne-'. Saadanne kan søges 

 i „Data", som jo netop er beregnet paa at lægge den mathematiske Viden til Rette 

 til Brug for de i Analysen indeholdte Reduktioner. Det er netop saadanne Reduk- 

 tioner af de i opstillede Ligninger udtrykte Fordringer, som vi nu foretager, naar 

 vi løser Ligningerne algebraisk. I de Tilfælde, hvor en antik Undersøgelse har el 

 algebraisk Formaal, vil „Data", blot i geometrisk Form, give Anvisning paa de 

 samme algebraiske Reduktioner, som vi nu udtrykker i det algebraiske Tegnsprog. 

 Ved en umiddelbar Oversættelse af den geometriske Fremstilling ses det saaledes, 

 at Data 84. og 85. udtrykker det samme som, at Løsningen af Ligningerne xij = a 

 ij — a-=Z7 føres tilbage til Løsning af Ligningen x'^ -\- bx ^ a (hyperbolsk Flade- 

 anlæg), Løsningen af Ligningerne xij = a, x -{- ij = b til Løsning af Ligningen 

 bx — o;"^ = a (elliptisk Fladeanlæg). I 86. rummer den geometriske Form en helt 

 gennemført algebraisk Løsning af Ligningerne 



xg^a 

 y" — mx' = b. 

 Vi skal nedenfor fremsætte den umiddelbare Oversættelse af Løsningen paa 

 Algebraens nuværende Sprog, idet vi blot bemærker, al de deri forekommende Pro- 

 dukter betegner Parallelogrammer (Rektangler), x" og y" Kvadrater, og al de Ud- 

 tryk ved de givne Størrelser, som vi skriver paa højre Side af vore Ligninger, er 

 Gengivelse af, at det siges, al Udtrykkene paa venstre Side er „givne", det vil sige: 

 efter ha an den kan beslemmes, naar a, b og m er givne. Vi skriver da kun de 

 algebraiske Betegnelser for de Operationer, ved hvilke disse sukcessive Bestemmel- 

 ser, som Euklid betragter som bekendte, maa foregaa i Henhold til de tidligere 

 Sætninger af Bogen. Anvendelsen af geometrisk Fremslilling spiller her næslen 

 ingen Rolle; den beslaar kun i, at den Hjælpestørrelse, vi her kalder r, afsættes 

 ud ad ij, hvorved ogsaa y — z bliver fremstillet som el Liniestykke; saadanne be- 

 tegner Euklid helt igennem ved Bogslaver paa Endepunkterne. Operalionerne 

 er da de følgende : Man sætter 



b = yz 



og, da b =^ y" — mx- og xy =^ a, faas eflerhaanden, idel vi Skridt for Skridt gengiver 

 Euklid's Slutninger: 



y (y — z) _ _, ? _ « ^' _ ?" ^' _ 1 4j/ (y — ;) _ a^ 



x^ ' z b' z' /)=' nlu — z) m' z^- -^"'ftä' 



4ya,-z)+^_(2y-z)^^^^aj 



[ 4m ^ 



1, 



41* 



