tiine Ringfläche ensteht durch Drehung eines Ovales um eine das Oval nicht 

 schneidende aber in seiner Ebene liegende Achse. Ist das Oval beliebig, kann die 

 Ordnung der Fläche beliebig hoch werden. Hier wollen wir uns ausschliesslich 

 an Ringflächen vierter Ordnung halten. Es ist leicht die Bedingung dafür anzugeben, 

 dass dies der Fall wird. Erstens kann eine die Achse schneidende oder eine auf 

 die Achse senkrecht stehende Gerade höchstens vier Punchte mit der Fläche gemein 

 haben. Um die Schnittpunkte der Fläche mit einer Geraden / beliebiger Lage zu 

 bestimmen, drehe man / um die Achse o. Dadurch entsteht ein Hyperboloid, dessen 

 Meridianschnitt (/) das Oval a in ebenso vielen Punkten schneidet, als / mit der Fläche 

 gemein hat. Damit die Fläche vierter Ordnung wird, ist es also hinreichend und 

 nothwendig, dass das Oval in höchstens vier Punkten von jeder Hyperbel geschnitten 

 wird, das seine Querachse auf der festen Geraden a hat. Die Fläche ist also jeden- 

 falls vierter Ordnung, wenn « ein elliptisch gekrümmtes Oval ist. Diese Bedingung 

 ist hinreichend, aber nicht nothwendig. 



Wir wollen nun erst den folgenden Satz aufstellen. 



Eine Ringfläche vierter Ordnung ist auch vierter Klasse. 



Die durch eine Gerade / gehenden berührenden Ebenen sind nämlich die 

 gemeinsam berührenden Ebenen der Fläche und desjenigen Hyperboloids, das durch 

 die Drehung von Z um die Achse a erzeugt wird. Der Satz folgt deshalb aus dem 

 bekannten, dass zwei Kurven zweiter Ordnung, welche 0, 2 oder 4 Punkte mit ein- 

 ander gemein haben, höchstens vier Tangenten mit einander gemein haben können. 



Wir wollen aber noch des Folgenden wenig untersuchen, wie viele berührende 

 Ebenen durch / gehen, wenn / seine verschiedene Lagen in Bezug auf die Fläche 

 einnimt. 



Schneidet l die Achse a, dann gehen durch / 4, 2 oder keine berührende 

 Ebenen, jenachdem / ausserhalb zwei, einer oder auch keiner der Kegelflächen liegt, 

 welche die Fläche aus dem Punkt (a/) projicieren. Steht / senkrecht auf der Achse, 

 dann gehen durch / 4 oder 2 berührende Ebenen, jenachdem der Schnittpunkt 

 von / mit derjenigen Meridianebene, die auf / senkrecht ist, ausserhalb beider 

 oder nur ausserhalb eines der in dieser Ebene liegenden Ovalen liegt. Schneidet \ 

 noch die Achse, dann gehen durch / 4 berührende Ebenen. 



