5 183 



Sehneidet / die Fläche in vier Punkten, dann haben a und die Hyperbel (/) 

 vier Punkte mit einander gemein; einem bekannten Satze zufolge müssen sie dann 

 entweder vier oder auch keine Tangenten mit einander gemein haben. Man sieht 

 aber leicht, dass sie in diesem Fall vier Tangenten mit einander gemein haben. 

 Nehmen wir nämlich an, dass a und (/) keine Tangente mit einander gemein haben; 

 dann würde jede Tangente an a zwei Punkte mit (/) gemein haben, weil-dies mit 

 einer Tangente, deren Berührungspunkt einem Schnittpunkt von « und (Z) nahe 

 liegt, der Fall ist. Ebenso sieht man, dass jede Tangente an (/) zwei Punkte mit 

 a gemein haben würde. Es wäre also a + (0 eine Kurve, welche mit jeder ihrer 

 Tangenten vier Punkte gemein hat — der Berührungspunkt zweimal gerechnet. 

 Deshalb würde jede Gerade wenigstens zwei Punkte mit a + (/) gemein haben. 

 Weil aber die Axe a keine Punkte mit « + (/) gemein hat, müssen also a und (/) 

 Tangenten mit einander gemein haben. 



Schneidet / die Fläche in zwei Punkten, dann haben « und (/) zwei Schnitt- 

 punkte und deshalb auch zwei Tangenten mit einander gemein. 



Hat endlich / keinen Punkt mit der Fläche gemein, dann haben auch a und 

 (/) keinen Punkt mit einander gemein, und haben deshalb entweder keine oder 

 auch vier Tangenten mit einander gemein. Wir können uns bestimmter ausdrücken, 

 wenn man die zwei Kreise, die parabolischen Kreise n^ und n^, in Betracht 

 zieht, längs welchen die Fläche von zwei Ebenen berührt wird. Die Punkte der 

 Kreise sind die parabolischen Punkte der Fläche, und sie trennen die „hyper- 

 bolischen" Punkte der Fläche von den „elliptischen". Jenachdem die Schnittpunkte 

 dieser Ebenen mit / beide ausserhalb ffj und r:^, oder beide innerhalb -k-^ und n^ 

 liegen — und nur diese Fälle sind hier möglich — liegt a beziehungsweise ausser- 

 halb oder innerhalb (/). Man hat also zusammenfassend: 



Durch eine Gerade, welche die Fläche entweder in vier oder (2) 

 auch in zwei Punkten schneidet, gehen beziehungsweise vier oder 

 auch zwei berührende Ebenen. Durch eine Gerade /, welche die 

 Fläche nicht schneidet, geht keine berührende Ebene, wenn ihre 

 Schnittpunkte mit den Ebenen der parabolischen Kreise beide inner- 

 halb dieser Kreise liegen; sonst vier. 



Wir bemerken besonders, dass wenn Z eine Haupttangente der Fläche ist 

 (die mit derselben drei konsekutive Punkte gemein hat), dann durch Z eine und nur 

 eine ausserhalb Z berührende Ebene geht (auch nicht zwei zusammenfallende). 



Die Ebenen, welche die Fläche in mehreren Punkten berühren, lassen sich 

 leicht bestimmen, weil die Fläche eine Umdrehungsfläche ist. Man erhält theils 

 die Ebenen der parabolischen Kreise, theils die berührenden Ebenen einer mit der 

 Fläche koaxialen Umdrehungskegelfläche. Diese möge das erzeugende Oval a in 

 R und /îj, und die Fläche in den Kreisen p und p^ berühren. 



Um nun unsere Ringfläche sicher als Elementarflächc auffassen zu können, 

 haben wir den Ort der Berührungspunkte der vierpunktig berührenden Tangenten 

 zu suchen. Wir thun dies derart, dass M'ir erst die doppelberührenden Tangenten 



