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Es sei Pj der zweite Schnittpunkt von a mit einer durch P gehenden und auf 

 a senkrechten Geraden; in diesem Punkt fallen offenbar die zwei oben genannten 

 Punkte M und M, zusammen. Bewegt M sich auf a in einem bestimmten Sinn von 

 Py aus, dann wird sich auch M^ in einem bestimmten Sinn bewegen, weil die 

 Beziehung gegenseitig eindeutig ist, und zwar dem oben genannten Hilfsatz 

 zufolge in dem entgegensetzten von M. Es fallen demnach M und Mj noch ein- 

 mal und nur einmal in einem Punkt Q von a zusammen. Hierbei haben wir aber 

 noch nicht hinreichend benutzt, dass a die transverse Achse sein soll. Liegt P in 

 dem der Achse a nächsten Punkt von a, dann ist offenbar a die transverse Achse 

 einer in P berührenden Hyperbel. Wählt man P in R, dann muss Q in /?j fallen, 

 indem die Hyperbel in zwei Gerade zerfällt. Überschreitet aber P den Punkt R, 

 dann wird die Hyperbel in den anderen Asymptotenwinkelraum übergehen, und 

 a wird Brennpunktsachse. P und Q müssen demnach beide auf dem Bogen 7?S/?, 

 fallen (siehe Fig. 1). Wir haben also bewiesen: 



In jedem Punkt P auf dem durch die Kreise p und p^ begrenzten (3) 

 un konvexen Teil der Fläche, giebt es zwei Tangenten, die in noch 

 einem anderen Punkt Q berühren. 



Wenn P in ß liegt, dann fallen die zwei genannten Tangenten in eine zu- 

 sammen. 



Ein Berührungspunkt eines Doppeltangente mit der Fläche kann also nur auf 

 dem eben bezeichneten Häclientheil liegen. 



Man erinnere nun, dass die Beziehung (P, Q) auch stetig und gegenseitig eindeutig 

 ist. Befindet P sich in dem früher genannten Punkt R (siehe Fig. 1), muss Q sich in 

 fij befinden, denn die Tangenten in R und R^ bilden eine spezielle Hyperbel mit 

 a als transverse Achse. Geht P von R nach Ry in einem bestimmten Sinn, muss 

 von Ry aus auch in einen bestimmten Sinn gehen. Kommt P in R, muss Q in 

 R fallen. Es bewegen sich desshalb P und Q in entgegengesetzten Sinn, und sie 

 müssen einmal in einem Punkt S des Bogens RR^ und auf dem konvexen Theil der 

 Fläche zusammenfallen. Man hat also: 



Der Ort der Berührungspunkte der vierpunktig berührend en (4) 

 Tangenten der Fläche ist ein und nur ein Parallel kreis. 



Dieser Kreis in Verbindung mit den parabolischen Kreisen t:^ und n^ zerlegt 

 die Fläche in eine endlichen Zahl von Stücken, und die Fläche ist deshalb eine 

 Elementarfläche. ') 



Es ist nun im folgenden unsere Hauptaufgabe theils die verschiedenen ebenen 

 Schnitte theils die Umrisse der Fläche aus den verschiedenen Punkten des Raumes 

 hinreichend zu charakterisieren. Wir werden jedoch das Hauptgewicht auf die 

 Umrisse legen, indem diese schon für den gewöhnlichen Kugelring, soviel ich weiss 

 nicht eingehend bestimmt worden sind. 



Wir können gleich bemerken, dass jede ebene Schnittkurve eine Symmetrieachse 



') Siehe: Über Elementarfläehen, Jahresber. d. deutschen Math. Vereinig. Bd. 22. S. 34.5 (1913). 



