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und jeder umschriebener Kegel eine Symmelrieebene haben muss; er folgt dies dar- 

 aus, dass die Fläche eine Umdrehungsfläche ist. 



Wir wollen nun erst die Schnittkurve der Fläche mit einer ihr berührenden 

 Ebene untersuchen; ein Schnitt ist nur vorhanden, wenn der Berührungspunkt P 

 auf der unkonvexen Seite der Fläche liegt. 



Nehmen wir erst P auf dem kleineren Bogen AR oder BR^ (siehe Fig. 1), 

 wobei die Endpunkte nicht mitzurechnen sind. Es ist P dann ein Doppelpunkt der 



Kurve und infolge (4) ein solcher, aus dem keine ausserhalb 

 P berührende Tangente geht, nach unserer Terminologie also 

 ein Doppeltpunkt erster Art. Hätte die Kurve mehrere Zweige, 

 dann müsste sie noch einen Doppelpunkt haben (denn sie 

 liegt ganz im Endlichen), was aber nicht der Fall ist. Die 

 Kurve ist also einzügig und hat einen und nur einen Doppel- 

 punkt erster Art. Die Form ist dadurch vollständig bestimmt 

 (siehe Fig. 2). 



Nehmen wir nun den Berühi'ungspunkt in R. Hier 

 haben wir den Satz: 

 (5) Jede doppel berührende Ebene einer Ringfläche vierter Ord- 



nung schneidet dieselbe in zwei Ovalen. 



Die Schnittkurve hat zwei und nur zwei Doppelpunkte R und R' und keine 

 Spitzen. Sie hat aber auch keine Wendetangenten. Eine solche kann nämlich nur 

 kommen, wenn in der Schnittebene /i eine Haupttangente / der Fläche zu finden 

 ist. Durch diese Gerade würde dann zwei (zusammenfallende) berührende Ebenen 

 gehen, welche in den ausserhalb t liegenden Punkten R und /?' berühren würden, 

 was infolge des Satzes 1 unannehmbar ist (siehe Seite 5). Die Kurve kann ferner 

 nicht einzügig sein. Durch R und R' gehen nämlich keine Gerade, welche die 

 Schnitlkurve ausserhalb R und R' berühren, und eine Kurve vierter Ordnung ohne 

 Spitzen und mit einer paaren Zahl von Doppelpunkten erster Art existiert nicht. 



Die Kurve hat also zwei Zweige, und keine von diesen hat 

 Spitzen, Inflexionspunkte oder Doppelpunkte; sie ist also aus zwei 

 Ovalen zusammengesetzt.') 



Wenn P auf dem Bogen RSR^ liegt, dann hat die Schnittkurve 

 wie im ersten P'all einen und nur einen Doppelpunkt. Die ganz 

 im Endlichem liegende Kurve kann auch nicht zerfallen, weil zwei 

 paare Kurven einen paare Zahl von Punkten mit einander gemein 

 haben müssen. Der Unterschied ist nur der, dass infolge Satz (3) 

 aus P zwei Tangenten gehen, welche ausserhalb P berühren. Eine 

 einzügige Kurve vierster Ordnung ohne Spitzen und mit einem und 

 nur einem Doppelpunkt zweiter Art ist aber vollständig bestimmt und hat zwei 

 Doppeltangenten und zwei Inflexionspunkte. Die Form einer solchen Kurve findet 

 sich in Fig. 3. 



Fig. 3. 



') Einen anderen Beweis findet man in „Nyt Tidssliiift f. Mathematili" Bd. 20, S. 41, 1909: 

 om en ililie analytisli Onidrejningsnade ■. 



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