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Es muss besonders bemerkt werden, dass wenn P in .S fällt, dann die Tan- 

 genten in P zugleich die Wendetangenten der Schnittkurve sind. 



Es hat keine Schwierigkeiten weitergehend alle ebene Schnittkurven der Fläche 

 der Form nach zu bestimmen. Wir wollen aber dies nicht durchführen und uns 

 an die Umrisse halten. Zuerst wollen wir untersuchen, ob bei den Umrissen In- 

 ilexionspunkte auftreten können. 



Es sei P ein Punkt, aus dem die Fläche auf eine Ebene projiciert wird; den 

 Umriss bezeichnen wir mit m. Durch P lege man eine auf a senkrechte Ebene n, 

 deren Spur in der Bildebene die Gerade l seien möge. Wird nun die Fläche nicht 

 von n- geschnitten oder liegt P innerhalb beider Kreise, in denen die Fläche von 

 ■K geschnitten wird, dann gehen durch jede in 7: liegende und P enthaltende Gerade ja 

 vier berührende Ebenen. Es gehen also in diesem Fall durch jeden Punkt von / 

 vier Tangenten an m, und es kann also / weder von w noch von einer Wende- 

 tangente von u) geschnitten werden, d. h. m hat keine Inflexionspunkte. 



Wenn abers die Fläche in zwei getrennten Kreisen schneidet, und liegt P nicht 

 innerhalb beider Kreise, dann gehen durch eine der eben genannten Geraden p 

 entweder zwei oder vier berührende Ebenen; der Übergang von zwei zu vier kann 

 aber nur in den die Fläche berührenden Geraden p geschehen. Eine Anderung in 

 der Zahl der Tangenten, welche durch einen Punkt von / gehen, tritt also nur ein 

 in den Schnittpunkten von / mit cd, d. h. w hat auch in diesem Fall keine Inflexions- 

 punkte. 



Diese Schlüsse bleiben gültig gleichviel ob P ein Punkt der Fläche ist, oder nicht. 



Es ist noch der Fall cu zu berücksichtigen, dass die Ebene tt die Fläche längs 

 einer der parabolischen Kreise ti^ oder ttc berührt. Dann ist, wenn P ausserhalb 

 der Kreise liegt, l eine Doppeltangente von m, während sie, wenn P innei-halb t:.^ 

 oder ;r2 Hegt, eine isolierte Gerade von m wird. In beiden Fällen zeigen die obigen 

 Schlüsse, dass w keine Inflexionspunkte haben kann. Es stellt sich aber anders, 

 wenn hier P auf der Fläche liegt z. B. in n-j. Es gehen zwar auch in diesem Fall 

 durch jede Gerade p ausser der doppel zu rechnenden Ebene von 1:^ noch zwei 

 berührende Ebenen, aber die Spur / von tc ist selbst eine Tangente an co, und 

 zwar, wie wir sehen werden, eine Wendetangente, deren Berührungspunkt T die 

 Spur der in P berührenden Tangente t an n-j ist. Es sei nämlich p eine durch P 

 gehende in «-j liegende von t verschiedene Gerade. Durch diese gehen, wie 

 schon gesagt, ausser n-j noch zwei berührende Ebenen. Betrachten wir aber zwei 

 Gerade p' und p", welche beide durch P gehen, beide p nahe liegen, welche aber 

 in einer durch p gehenden nicht n-, enthaltenden Ebene „im kleinen" durch p 

 getrennt sind. Von diesen Geraden schneidet die eine z. B. p' die Fläche in vier 

 Punkten, während die andere p" in zwei Punkten schneidet. Durch p' gehen also 

 vier berührende Ebenen, während durch p" nur zwei solche Ebenen gehen. Aber 

 betrachten wir weiter zwei Gerade /' und /", welche beide durch P gehen, beide t 

 nahe liegen, aber in einer durch / gehenden -j nicht enthaltenden Ebene „im 

 kleinen" durch / getrennt sinn. Diese Gerade schneiden beide die Fläche in zwei 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., naturvidensk. og mathem. Afd., 8, Riekke, I. 4. 2ö 



