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Punkten, und es gehen ;also durch beide Gerade auch zwei berührende Ebenen. 

 Also muss / eine Wendetangente von w sein, denn überschneidet in der Ebene von 

 CD ein Punkt M diese Gerade in dem Punkt T, dann bleibt die Zahl der durch M 

 gehenden Tangenten an w unverändert, findet aber die Überschreitung von M über 

 / in einem beliebigen anderen Punkt von / Statt, dann ändert sich dieselbe Zahl 

 um zwei. Durch diese Angaben wird eben eine Wendelangente charakterisiert. 



Man hat also: 

 (fi) Der Umriss einer Ringfläche vierter Ordnung aus einem Punkt 



P hat im Allgemeinen keine Wendetangente; eine solche findet sich 

 nur, wenn P in einem parabolischen Punkt der Fläche liegt. 



Ehe wir weiter gehen, wollen wir noch ein Paar Hilfsätze aufstellen. 



(7) Eine Kurve vierter Klasse ohne Inflexionspunkte oder Doppel- 

 punkte kann nicht in zwei Zweige vierter Klasse zerfallen. 



Nehmen wir nämlich an, die Kurve to zerfalle in w' und w" , welche alle vierier 

 Ordnung sind. Weil m — und ebenso w" — keine Doppelpunkte oder Inflexions- 

 punkte hal, zerlegt sie ihre Ebene in zwei Gebiete; aus den Punkten des einen 

 Gebietes geben zwei, aus denen des anderen Gebietes vier Tangenten an (o. Es sei 

 nun M ein Punkt aus dem zwei Tangenten an m und desshalb auch zwei an m" 

 geben. Von M aus kann man einen Weg finden, der in einem Punkt F von co" 

 endigt, ohne co" überschritten zu haben — oder umgekehrt. Durch einen Punkt 

 auf der Verlängerung des Weges über P' hinaus würden dann mehr denn vier 

 Tangenten an m -|- tu" gehen. 



Die gegebenen Umstände verhindern selbstverständlich nicht, dass die Kurve 

 zerlegbar ist. Sie kann möglicherweise in zwei Ovale, in ein Oval und eine Kurve 

 vierter Klasse oder auch in zwei Kurven dritter Klasse zerfallen. 



Ferner hat man: 



(8) Eine Kurve vierter Klasse mit mehr denn eine D o p p e 1 1 a n g e n t e 

 kann nicht in zwei Zweige dritter Klasse zerfallen. 



Es zerfalle cu in zwei Zweige dritter Klasse w und cd" \ diese Zweige haben 



wenigstens eine Tangente / mit einander gemein. Aus dem Schnittpunkt von / mit 



einer anderen Doppeltangente von w würden mehr denn vier Tangenten an œ gehen. 



Wir werden im folgenden zuerst die Umrisse aus einem auf der Fläche 



liegenden Augenpunkt untersuchen. 



Erst wollen wir die Spitzen eines solchen Umrisses direkt bestimmen; diese 

 sind die Spuren der durch P gehenden aber nicht in P berührenden Haupttangenten. 

 Dreht man diese um die Gerade a als Achse, sieht man, dass es darauf ankommt 

 diejenigen Hyperbel — hier wie immer im Folgenden mit a als transverse Achse 

 — zu bestimmen, welche durch P gehen und in einem im Allgemeinen von P 

 verschiedenen Punkt Berührung zweiter Ordnung mit dem durch P gehenden 

 Meridianoval a haben. 



Wir müssen aber erst eine einfachere Aufgabe lösen, nämlich diejenigen Hyperbel 

 bestimmen, welche durch zwei Punkte P und N von a gehen und dieselbe noch 



