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in einem im Allgemeinen von P und N verschiedenen Punkt Q berühren; es muss 

 selbstverständlich Q auf dem nicht konvexen Theil der Fläche liegen. Bei dieser 

 Aufgabe müssen wir vor allem den Seite 6 genannten Hilfsatz erinnern, der die 

 nothwendige und hinreichende Bedingung dafür giebt, dass drei Punkte einem und 

 demselben Zweig der Hyperbel angehören, denn das muss für P, N und Q der 

 Fall sein. Aber es ist noch die Möglichkeit in Betracht zu ziehen, dass zwei der 

 drei Punkte in einer auf a senkrechten Geraden liegen; in dem Fall muss aber die 

 Hyperbel in zwei auf a senkrechte Gerade zerfallen. 



Um nun unsere vorlaufige Aufgabe zu lösen, legen wir durch zwei feste Punkte 

 P und JV und einen veränderlichen Punkt M von « eine Hyperbel. Diese schneidet 

 noch a in einem Punkt M', und die Abhängigkeit M — Af ist stetig, 

 gegenseitig eindeutig und involutorisch. Schneiden die durch P und N 

 gehenden auf a senkrechten Gerade die Kurve a bzw. nochmals in P, 

 und iVp dann haben wir in Pj und iVj zwei einander entsprechende 

 Punkte M und M'. Liegen nun erstens P und N beide auf der kon- 

 vexen Seite der Fläche, dann müssen dem genannten Hilfsatz zufolge 

 M und M' beide auf dem A nicht enthaltenden Bogen P^N^^ liegen, und 

 wenn auf diesem Bogen M von P^ nach iV, läuft, muss M' von N^ nach 

 Pj laufen. M und M' fallen also einmal und nur einmal in einem Punkt des 

 Bogens P^N^ zusammen. (Fig. 4). 



Liegen P und N beide auf der nicht konvexen Seite der Fläche, 

 dann muss aus demselben Grunde M von P^ über P nach Nj laufen, 

 p/ ]p und M' von iVj über N nach P^. Hier findet also auch ein und nur 

 ein Zusammenfallen von M und M statt. (Fig. 5). 



Liegt endlich P auf der nicht konvexen, N auf der konvexen 

 Seite der Fläche, dann muss M von P^ ausgehend entweder den Bogen 

 P^APNi und gleichzeitig M' den Bogen N^PAP^ durchlaufen, oder 

 "^ "■ auch M den Bogen PiBPNi und M' gleichzeitig den Bogen N^PBP^. 



In beiden Fällen findet man einen und nur einen Zusammenfallspunkt Q, der ent- 

 weder auf dem Bogen N ^A oder auf dem Bogen iV,ß liegt. Der Fall, wo entweder 

 P oder N in einem der Punkte A oder B liegt, macht ersichtlich 

 keinen Unterschied in dem Resultat. (Fig. 6). 



Wir müssen aber noch den Sonderfall betrachten, wo P und 

 jV beide in einer und derselben auf a senkrechten Geraden liegen. 

 Hier hat man nämlich zwei zerfallene Hyperbeln als Lösungen, welche 

 beide die Gerade PA' enthalten und ausserdem noch entweder die 

 eine oder die andere, der auf a senkrechten Tangenten von a. Des 

 folgendes wegen machen wir noch darauf aufmerksam, dass wenn 

 P auf dem nicht konvexen Theil der Fläche liegend festgehalten wird, während N 

 gegen Pj konvergiert, dann Q dem oben gesagten zufolge nach A oder auch nach 

 B konvergiert, jenachdem N ehe P^ erreicht wird, sich mit B oder mit A auf der- 

 selben Seite von PPi befindet. Wird dagegen .V auf dem konvexen Theil der 



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