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Fläche liegend festgehalten, während P nach iVj konvergiert, dann konvergiert Q 

 nach A oder nach B, jenachdem P mit A oder mit B auf derselben Seite von Nh\ 

 sich befindet. 



Wir haben also gefunden : 

 (9) Durch zwei beliebige Parallelkreise einer Ringfläche vierter 



Ordnung, deren Ebenen nicht zusammenfallen, geht immer ein und 

 nur ein koaxiales Hyperboloid, das die Fläche in einem im All- 

 gemeinen von den erstgenannten verschiedenen Kreis berührt. 



Wir können nun leicht die durch einen Flächenpunkt P gehenden Haupt- 

 tangenten bestimmen. Wir nehmen erst P auf dem konvexen Theil der Fläche, 

 und es sei « das durch P gehende Oval. Eine durch P gehende und auf a senk- 

 rechte Gerade schneide a nochmals in P^. Legen wir nun durch P und einen 

 Punkt N von a die « in einem neuen Punkt Q berührende Hyperbel, dann ist die 

 Beziehung A' — Q im Allgemeinen gegenseitig eindeutig; nur wenn A' in P, fällt, kann Q 

 entweder in A oder in B fallen. Dem oben gesagten zufolge, wird aber, wenn N von 

 Pj ausgehend auf dem unkonvexen Theil nach A geht, der entsprechende Punkt 

 Q von A ausgehen und im entgegengesetzten Sinn von N. Q und N fallen also 

 einmal und nur einmal auf dem genannten Bogen PjA zusammen. Ebenso findet 

 sich auch ein und nur ein Zusammenfallspunkt T von A^ und Q auf dem Bogen 

 Pjß (siehe Fig. 4). Durch P gehen also zwei Hyperbel, welche drei zusammen- 

 fallende (im Allgemeinen von P verschiedene) Punkte mit a gemein haben. 



Nehmen wir nun P auf dem unkonvexen Theil der Fläche und bestimmen 

 Pj wie oben. Die Beziehung N — Q (mit denselben Bezeichnungen) ist wieder 

 gegenseitig eindeutig, wenn nicht A^ in P^ gewählt wird. Lauft aber hier N von 

 Pj nach A (auf dem konvexen Theil), dann wird Q von B aus über P nach A 

 laufen, und wenn N in Pj gelangt ist, dann wird Q in B fallen. Es fallen deshalb 

 Q und A^ nur einmal zusammen, und es giebt nur eine durch P gehende Hyperbel, 

 die mit « drei zusammenfallende im Allgemeinen von P verschiedene Punkte 

 gemein hat. 



Dasselbe gilt, wie leicht zu sehen, auch, wenn P in A oder in B liegt. 



Erinnern wir uns nun, dass durch jeden Punkt eines Hyperboloids zwei 

 Gerade der Fläche gehen, hat man: 

 (10) Durch jeden hyperbolischen oder parabolischen Punkt P der 



Ringfläche gehen zwei Haup t tangenten , welche im Allgemeinen 

 ausserhalb P berühren. Durch jeden elliptischen Punkt gehen aber 

 vier solche Haupttangenten. 



Es väre leicht die Zusammenfallspunkte von Q und 7" zu suchen, und dadurch 

 den Satz (4) aufs neue zu beweisen; wir lassen aber dies aus. 



Indem wir nun endlich zu den Umrissen übergehen, betrachten wir erst den 

 Fall, dass der Augenpunkt P in einem elliptischen Punkt der Fläche liegt. Projiciert 

 man auf eine Ebene tt, die der in P berührenden Ebene parallel ist, dann gehen 

 infolge (1) aus jedem unendlich fernen Punkt von - zwei Tangenten an den Um- 



