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riss w; diese muss deshalb ganz im Endlichen liegen. Sie hat ferner zwei Doppel- 

 tangenten f = 2, keine Wendetangenten w = 0, und keine Doppelpunkte, das 

 letztere weil die Fläche vierter Ordnung ist. Aus den Hilfsätzen 

 (7) und (8) folgt ferner, dass cu nicht in zwei Zweige vierter oder dritter 

 Klasse zerfallen kann. Sie kann aber auch nicht in zwei Ovale 

 oder in eine aus einem Oval und einer Kurve vierter Klasse zu- 

 sammengesetzte Kurve zerfallen, denn an w würden dann aus einem 

 unendlich fernen Punkt wenigstens vier Tangenten gehen. Der 

 Umriss ist also einzügig und hat d = 0, e = 4, t = 2, w = 0. 

 Die Form des Umrisses ist dadurch vollständig bestimmt; siehe 

 Fig. 7. 



Nehmen wir jetzt P in einem hyperbolischen Punkt der Fläche. Projiciert man 

 auf eine auf a senkrechte Ebene, wird der Umriss co wieder ganz im Endlichen liegen, 

 weil infolge (1) aus jedem unendlich fernen Punkt ihrer Ebene vier Tangenten an 

 (o gehen. Die Kurve hat drei Doppeltangenten, von welchen die eine die Spur der 

 in P berührenden Ebene ist; sie kann deshalb wie im früheren Fall nicht in zwei 

 Kurven vierter oder zwei dritter Klasse zerfallen. Sie kann 

 aber ersichtlich auch nicht in ein Oval <o' und eine Kurve 

 vierter Klasse w" zerfallen. Es kann nämlich die letztere jeden- 

 falls nicht selbst zerfallen, weil dann aus einem unendlich 

 fernen Punkt mehr denn vier Tangenten an w gehen würden. 

 Weil w und oj" einander nicht schneiden, muss die eine inner- 

 halb der anderen liegen, denn sonst würden sie vier Tan- 

 genten mit einander gemein haben. Die Symmetrieachse von w 

 müsste also jede der beiden ganz im Endlichen liegenden Kurven 

 oj' und w" in zwei Punkten schneiden. Es ist aber ersichtlich, 

 dass die Symmetrieachse nur zwei Punkte mit « gemein haben kann. Der Umriss 

 ist also auch in diesem Fall einzügig. 



Es macht nun einen Unterschied, ob P auf dem Bogen AR, oder auf dem 

 Bogen RS liegt (siehe Fig. 1); es verhält sich selbstverständlich in dieser Beziehung 

 der Bogen BR^ wie AR, und der Bogen R^S wie RS. In dem 

 ersteren dieser Fälle schneidet die in P berührende Ebene dem 

 früheren zufolge (siehe Fig. 2) die Fläche in einer Kurve x, 

 an die aus P keine Tangenten gehen ; im zweiten Fall gehen 

 aus P zwei Tangenten an x (siehe Fig. 3). Hieraus folgt, dass 

 im ersteren Fall die zur Symmetrieachse senkrechte Doppel- 

 tangente keine andere Punkte als die Berührungspunkte mit w 

 gemein hat, während im zweiten Fall dieselbe die Kurve co 

 noch in zwei anderen Punkten schneiden wird. 



Aus alle dem folgt, dass der Umriss aus einem Augen- 

 punkt auf dem Bogens AR die in Fig. 8 angegebene Form hat, während sie die in 

 Fig. 9 angegebene Form haben wird, wenn P auf den Bogen RS liegt. 



Fig. 8. 



Fig. 9. 



