31-1 XII. Kapitel. 116 



f = S = |-UV*"P + > + >)' 



26 



b 

 og da yz-=b, bliver 



V4mg+1-^1' 



y = M 



\/4mp+l + l 

 2b 



Alt dette er Algebra, ved hvis Fremstilling i Ord de geometriske Fremstillings- 

 midler slet ingen Rolle spiller, og geometrisk Anskuelse sættes paa intet Punkt af 

 Euklid's Fremstilling i algebraiske Slutningers Sled. Hver enkelt af de Ligninger, 

 vi har opstillet, er bj'gget paa en foregaaende. Sætning (eller Definition) i Dala, lil 

 hvilken henvises i Menge's Udgave. Vel er det paa en geometrisk Konstruktion 

 af den Størrelse, som siges at være given, naar de i de foregaaende bestemte Stor- 

 relser er det, at der formelt gives Anvisning; men da man af Euklid's X. Bog har 

 sluttet, al Grækerne allerede paa den Tid ogsaa anvendte Fladeanlæg lil Losning 

 af numeriske Ligninger, og om end rimeligvis med ret grov Tilnærmelse uddrog 

 de derved forekommende Kvadratrødder, kan vi vide, at de ogsaa, naar a, b og m 

 var givne som Tal, forstod at omsætte de her foreskrevne Konstruktioner til suk- 

 cessiv Beregning af de Størrelser, som efterhaanden jjaastaas at være „givne", hvilkel 

 maatte ske i fuld Overensstemmelse med de moderne mathematiske Tegn, hvorved 

 vi har udtrykt de foreskrevne Konstruktioner. Euklid siger iøvrigt ikke noget 

 nærmere om, i hvilken Form a, b og m er givne, medens den konstruktive Løs- 

 ning vilde kræve, at a og fc fremstilles som Arealer af givne Figurer, m som For- 

 holdet mellem lo Linier. 



Den geometriske Form var dog nødvendig for Euklid, der ikke havde vore 

 Betegnelser for almindelige Størrelser og algebraiske 0|)eralioner med disse, naar 

 han skulde give en almindelig Løsning af den stillede Opgave. End ikke et nume- 

 risk bestemt Exempel vilde han kunne fremstille nøjagtig ved Tal og Angivelsen 

 af Regning med disse, da Roduddragningen kun kunde udføres med Tilnærmelse; 

 og en saadan Fremstilling vilde være ham helt umulig, naar ikke a, b og m er 

 opgivne som rationale Tal. Den algebraiske Sammenhæng mellem de forskellige 

 Operationer er dog ganske den samme, hvad enten de udtrykkes i Euklids geo- 

 metriske Sprog eller i den nuværende Algebras, og den algebraiske Færdighed i at 

 benytte disse Forbindelser til at løse forelagte Opgaver lader sig derfor næsten lige 

 godt knytte til den ene eller anden af disse Fremstillingsformer. At det i det fore- 



