117 Almiiuleligfjorcl.se af Sætninger. 315 



liggende Tilfælde, naar man har et Udiryk for —-, — - , vil fore til el fuldstændigt 



Kvadrat at multiplicere med 4 og lægge 1 til, er f. Ex. el Kunstgreb, som Euklid har 

 haft paa rede Haand uden at behove at tegne en Gnomonfigur, ligesom den, der nu kan 

 Formleii for el Kvadrat af el Binom udenad. Allerede ved Indførelsen af den nye 

 ubekendte z har Euklid tilmed haft Dannelsen af el med en „given" Størrelse ligeslort 

 Kvadrat for Øje. En saadan algebraisk Indførelse af en ubekendt Hjælpestørrelse, 

 hvoraf Diofant 600 Aar senere gør saa heldige Anvendelser, var altsaa lige saa 

 lidt noget ukendt paa Euklid's Tid som algebraiske og numeriske Anvendelser af 

 Ligninger af anden Grad. Det er blot bleven mere skjult for Læsere i den nyere 

 Tid derved, at Euklid selv overalt lægger Hovedvægten paa den Forbindelse med 

 exakt bestemte geometriske Konstruktioner, som han i Tilslutning til Platon's 

 Disciple havde sal sig til særlig Opgave at behandle. Manglen af Fremhæven af 

 den rent algebraiske Side af Sagen tyder, som alt fremhævet, snarere paa, at heri 

 ikke dengang laa noget nyt. Det kunde dog ikke undgaas, at ogsaa selve Algebraen 

 gik frem ved den Brug, Euklid gør af den f. Ex. til at lose den her omtalte 

 Opgave i Data 86, og ved de mangfoldige Anvendelser af Algebraen, som f. Ex. 

 Apollonius gjorde saavel i sine Smaaskrifter som i Keglesnitslæren, hvor de med- 

 deles under samme geometriske Former som hos Euklid. Diofant's algebraiske 

 Opgaver viser, at denne Beskæftigelse med Algebraen er fortsat gennem de mange 

 mellemliggende Aarhundreder og vel nok videre udviklet under Anvendelsen paa 

 flere og forskellige numeriske Opgaver. 



Det er som sagt den geometriske Form, der her som andetsteds giver de alge- 

 braiske Operationer den for selve disse ønskelige Almindelighed ; men Formaalel for 

 Euklid's Data er ikke at give en Øvelse i disse. I Overensstemmelse med vore Be- 

 mærkninger S. 32 (230) skal de ved Siden af Elementerne som Grundlag give Midler 

 til videregaaende Undersøgelser, og dette har i Euklids Øjne ogsaa her krævel 

 den forøvrigt let købte højere Grad af Almindelighed, som i de anførte Sætninger 

 84. — 86. faas ved at ombytte Beklangler og Kvadrater med Parallelogrammer og 

 Rhomber med en given Vinkel. 



For denne Almindeliggørelse særlig af 86. kan Euklid iovrigl have haft en 

 Anvendelse i de videregaaende Undersøgelser, som beskæftigede ham selv under 

 hans Behandling af Læren om Keglesnit. Hvad hans tabte Keglesnitselemenler 

 indeholdt, antages jo nærmest at være del, som Archimedes forudsætter bekendt. 

 Dertil hører den Sætning, som man i Nutiden ofte har kaldt „Apollonios' Sætning", 

 og som anvendt paa en Hyperbel i mere geometrisk Form udtrykker det samme 

 som denne Kurves Fremstilling ved den i Data 86. behandlede Ligning y^— mx^=b, 

 naar den henføres til et Par konjugerede Diametre. Ligningen xy = a for en lige- 

 sidet Hyperbel henført til sine Asymptoter var kendt af Menaichmos. Med Euklid's 

 Lyst til Almindeliggørelse ligger del ikke fjernt at antage, at han, som senere 

 Apollonios, kendte den samme Lignings Anvendelse til at henføre en vilkaarlig 

 Hyperbel til sine Asymptoter. I saa Fald har Euklid vidst, at den i Data 86. be- 



