121 Idealiteten ;if de geometriske Figurer. 319 



Rækker Delinilioiier paa de samme geometriske Grundbegreber, som kimde hidrøre 

 fra forskellige Kilder, og som Euklid af Troskab mod Overleveringen havde ment 

 al binde medtage begge. For en saadan historisk Hypothese bliver der imidlertid 

 ikke Brug, naar man lægger Mærke til, at de ganske nøje antager de Skikkelser, 

 som de maa i en Synthese af de Elementer, som maa fremkomme ved en 

 Analyse af den Geometri, der tidligere gjorde praktisk Brug af de her definerede 

 Begreber. Definitionerne i første Række I, 1., 2. og 5., XI, 1. paa Punkt, Linie, 

 Flade, Rum £r de virkelige Definitioner, de, der skal danne Udgangspunkter for en 

 synlhelisk Behandling; de er de yderste Grænser, hvortil Analysen kan føre; og 

 de er ordnede efter deres Simpelhed. Ved Analysen maa man være kommet til 

 dem i omvendt Orden. Denne Analyses forskellige Skridt kan man genfinde i den 

 anden Række Definitioner XI, 2., I, 6. og 3.; men i Synthesen maa de fremstilles i 

 omvendt Orden, og deres Plads i Synthesen hævder de ikke som nye Definitioner 

 paa Punkt, Linie og Plan; nej, ogsaa i dem selv bevæger Synthesen sig i modsat 

 Retning af Analysen, saa de nu — ogsaa efter deres Ordlyd — bliver Definitioner 

 paa Grænser for Linier, Flader og Legemer, og derved forklares, hvad begrænsede 

 Linier, Flader og Legemer er. Ogsaa disse Begreber, fra hvis Existens Analysen er 

 gaaet ud, og som i Virkeligheden er Genstande for mere umiddelbare Sanseop- 

 levelser, maa nu indføres ved udtrykkelige Definitioner. Som svarende til sidste Led i 

 den geometriske Analyse, der har ført til de virkelige Definitioner paa Grund- 

 begreberne, maa de i Synthesen hver for sig komme efter den tilsvarende Definition. 

 Som man ser, udsiger de anførte Definitioner paa rette Plads netop, hvad der 

 skal siges for at have de rette Udgangspunkter for de følgende Undersøgelser, uden 

 at give nærmere Forklaring eller anstille yderligere Betragtninger; men saadanne 

 har ganske sikkert baade gaaet forud, ledsaget og fulgt efter Opstillingen af Defini- 

 tionerne; dertil maatte Uvirkeligheden af Begreberne: geometriske F^igurdele uden 

 Udstrækning i den ene, den anden eller alle Retninger indbyde. Hvad vi i den 

 Henseende træffer saa langt tilbage som hos Pythagoreerne og Zenon '), vedrører 

 nærmest Spørgsmaalet om Tilladeligheden af infinitesimale Grænseovergange, for 

 hvilke forst langt senere Eudoxos fandt en exakt Form. Naar saaledes Pythago- 

 reerne definerer et Punkt som : Enhed med Beliggenhed, staar dette i Modsætning 

 til de euklidiske Definitioner, der udelukkende giver Punktets Beliggenhed. Ordet 

 Enhed peger derimod hen paa en Bestræbelse efter at udtrykke Liniers Længder 

 ved Tal, der ganske vist maa være uendelig store, naar Linierne er inkommen- 

 surable, men hvis Forhold man ved en intuitiv Grænseovergang har ment at kunne 

 behandle. En Linie skulde da bestaa af uendelig mange Punkter. Herimod ind- 

 vender Zenon med Rette, at hvis Punktet ingen Udstrækning har, faar man kun 

 et Punkt, hvor tidt man end gentager det, og hvis det har en nok saa lille Ud- 

 strækning, vil en uendelig Gentagelse give en uendelig Linie. Allerede her træder 



•) Herom henvises til P. Tannf.iiys Omtale af Zrnon i „Pour l'histoire de la science lielènc'^ 

 Paris 1887. 



U. K. D. Viclensli. Selsk. Skr., iiaturvidcnsli. ug ni:ithcm. Aid., 8. liii'Uke. 1. 5. 42 



