125 Stereometrien. 323 



femte, Dodekaedret, anses for tvivlsomt'). Nogen saglig Grund til Tvivl, ellei- til at 

 lægge synderlig Vægt paa denne mulige Mangel, er der dog ikke; thi Omtalen af 

 de øvrige Polyèdre viser, at man allerede var opmærksom paa det Hovedkrav, der 

 stilledes, at Hjørnerne maa begrænses af Vinkler i kongruente regulære Polyèdre, 

 hvis Sum er mindre end 4 rette, og da blev Medtagelsen af det af regulære Fem- 

 kanter begrænsede Dodekaeder i hvert Fald kun et Tidsspørgsmaai. Det Spørgs- 

 niaal, i hvilke Arter kongruente Polygoner man kan dele Planen, hænger nøje sam- 

 men dermed og er behandlet af Pythagoreerne (Proklos S. 305,:î). Derfor behover 

 Pythagoreerne ikke at have bevist den til Grund liggende Sætning om Summen af 

 Siderne i et konvext Hjørne i samme Almindelighed og paa samme Maade, som 

 det sker hos Euklid i XI, 21., der igen er bygget paa Sætning XI, 20., som udsiger, 

 at Summen af to Sider i et tresidet Hjørne er større end den tredie. I Beviset for 

 denne Sætning benytter Euklid Sætninger af den Del af I. Bog, om hvis Indhold 

 vi i VIII. Kap. har set, at det i væsentlig Grad skyldes Euklid's (og Menaichmos') 

 Bearbejdelse, navnlig den, at i to Trekanter ABC og Ajß,Ci, hvor Siderne b-=b^ 



og c-=c^, vil A%Ai medføre a^a^. For at finde de regulære Polyèdre var del 



derimod nok at vide, at Summen af Siderne i et regulært Hjørne er mindre end 

 4 rette, og i dette specielle Tilfælde fremgaar Sætningen let ved at betragte en ret- 

 staaende regulær Pyramide. Ved Udarbejdelsen af virkelige „Elementer" af Stereo- 

 metrien fik man derimod det nødvendige Grundlag for Læren om regulære Poly- 

 èdre i den almindeligere og videnskabelige Form, hvori det gives hos Euklid. 



Samtidig gav Euklid's Elementer, særlig den deri indeholdte Behandling ai 

 Spørgsmaal, der afhænger af Ligninger af anden Grad, samt X. Bogs Klassificering 

 af irrationale Størrelser, Grundlaget for de videregaaende Undersøgelser, som vist- 

 nok Theaitet havde begyndt, og som indeholder Bestemmelsen af Kanterne i et 

 regulært Polyeder, naar den omskrevne Kugles Diameter eller Radius er given. 

 Bestemmelserne foreligger vel i Form af Konstruktionsregler; men som overalt i 

 den geometriske Algebra giver disse en lignende Anvisning ogsaa paa praktisk Be- 

 regning, som vi nu har i de algebraiske Formler. Denne Undersøgelse findes i 

 Euklid's XIII. og sidste Bog og kunde for saa vidt gerne opfattes som en videre- 

 gaaende Anvendelse af de i de foregaaende Bøger fremsatte Elementer; men paa 

 den anden Side udgør dens Indhold selv „Elementer" for de endnu videregaaende 

 Undersøgelser over de samme Polyèdre af Apollonios og dernæst for dem af 

 Hypsikles, som man paa Grund af denne Tilslutning har betragtet som en XIV. 

 Bog af Elementerne. — For Sfærikens Vedkommende indeholder Euklid's Elementer 

 intet udover, hvad han selv bruger i Beviset for Kuglers Proportionalitet med Dia- 

 metrenes Kuber; men de yder de stereometriske Elementer, som giver ogsaa de 

 sfæriske Undersøgelser et videnskabeligt Grundlag. Først senere sammenstiller Me- 

 NELAOS i den første Bog af sin Sfærik virkelige Elementer for Sfæriken, idet han 

 om de af ham indførte sfæriske Trekanter opstiller og beviser en Række Sætninger, 



') Se DiELs: Vorsokratiker (.3. Udgave 1912) I S. 314,i2. [Se dog Tillæg om E. Sachs' nye Arbejde] 



