89 Ligedannede Figurer og Proportioner. 287 



søgelsei') ved vi dog kun lidt, fordi de derved vundne Resultater i Euklid's V. Bog 

 fremtræder i den almindeligere Skikkelse, som Eudoxos gav Proportionslæren, og 

 som i Tilslutning dertil Euklid i VI. Bog har givet Læren om ligedannede Figurer. 

 Det nytter heller ikke at vise hen til Euklid's VII. — IX. Bog, i hvilke man, da Talen 

 her kun er om Forhold mellem hele Tal, har troet at finde den Form, som man 

 for Eudoxos" Tid har givet Proportionslæren. Indskrænkningen til hele Tal hid- 

 rører nemlig ikke fra Hensynet til den Simplifikation i Beviserne for Proportions- 

 sætninger, som disse tillader, men fra Hensynet til den Anvendelse, som her skal 

 gøres til at føre exakte Beviser for Theaitet's i Eukud X, 9. opstillede Kriterier 

 for Rationalitet eller Irrationalitet af Rodstørrelser, og som forklarer den Plads, 

 disse arithmetiske Bøger har faaet i Geometrien (Oversigt 1910). Disse Bøger er i 

 ligesaa høj Grad prægede af og for Begyndere vanskeliggjorte ved Theaitet's forsig- 

 tige Skarpsindighed som V. Bog af Eudoxos' geniale almindelige Synspunkt. Der- 

 imod vil mange af de i alle de her omhandlede Bøger (V — IX) indeholdte enkelte 

 Sætninger have været kendte før de nævnte nærmeste Forløbere for den platonisk- 

 euklidiske Omdannelse til en rationel Lærebygning, men da begrundede med min- 

 dre Omsigt og Forsigtighed og i mindre Almindelighed. 



Fra den pythagoreiske Tid kender vi dog et vigtigt Hjælpemiddel, som dels 

 opstod under Behandlingen af ligedannede Figurer, dels gjorde stor Nytte ved disses 

 videre Undersøgelse, nemlig Vinkelbegrebet; men dets Opstaaen og Udvikling 

 vil vi helst omtale for sig i et særligt Kapitel (X.), til hvilket vi derfor nu ind- 

 skrænker os til at henvise. 



Med hvor stor Sikkerhed og Klarhed en højt begavet Mathematiker kunde be- 

 handle ligedannede Figurer, derunder ogsaa de med disse forbundne Vinkler, paa 

 en Tid, da hverken Eudoxos endnu havde behandlet Proportioner fra sit almindelige 

 Synspunkt, eller Platonikernes Analyse havde opløst den almindelige Ligedannethed 

 i Sætninger om Ligedannethed af de simpleste retlinede Figurer, ser vi af det op- 

 bevarede Fragment af Hippokrates fra Chios (Oversigt 1913, S. 442—456). Naar 

 han udenvidere antager, at Cirkler foi-holder sig som Kvadraterne af deres Diame- 

 tre, altsaa som de omskrevne Kvadrater, gør han kun det samme som de mange, 

 der før ham har søgt at bestemme Værdien af dette Forhold. Idet to Cirkler er 

 ligedannede, maa man ogsaa af dem ved Korder kunne afskære ligedannede Afsnit, 

 og ifølge ligedannede Figurers almindelige Egenskaber maa dels disse staa i samme 

 Forhold til de hele Cirkler, dels de deri indskrevne Vinkler være ligestore. Delte 

 er, hvad Hippokrates opstiller som Udgangspunkt for sin Afhandling, og det gaar 

 ikke ud over det, som enhver, der har en almindelig Forestilling om ligedannede 

 Figurer, vil tillægge disse uden at I»»ve nogen Tvivl om sin Paaslands Rigtighed. 

 Man behøver derfor ikke at antage, at Hippokrates skulde have været i Besiddelse 



■) At man ogsaa ad denne geometriske Vej lian komme til en exakt Proportionslære, har Molle- 

 rup vist i Matliematische Annalen 56 (1902); forst dens Forbindelse med den arithmetiske Proportions- 

 lære kræver en Anvendelse af Eudoxos' Postulat. 



D. K. D. Vidensk. Selsk. Skr., natul-vidensk. og mathem. Afd., 8. Ræltke. I. 5. 38 



