288 IX. Kapitel. 90 



af .saadanne Beviser for disse Paaslande, som vilde have tilfredsslillel de Krav, man 

 stillede i Perioden fra Platon til Euklid, ja i Betragtning af det Arbejde, som det 

 har voldt at opføre en geometrisk Lærebygning, hvori disse Krav er opfyldte, er 

 det endog kun lidet sandsynligt, saa meget mere som Gennemførelsen af et saadant 

 Bevis for de ligedannede Afsnits Proportionalitet med Cirklerne maatte blive meget 

 vidtløftigt og gaa om ad ligedannede Udsnit. Saadanne omtaler end ikke Euklid, 

 og hans Omtale af Cirkeludsnit indskrænker sig til en Definition, medens han ud- 

 førligere behandler Cirkelafsnit. 



Medens den almindelige Forestilling om ligedannede Figurer og deres alminde- 

 lige Egenskaber endnu dannede Udgangspunktet for saa indgaaende Undersøgelser 

 som HippoKRATEs', maatte den euklidiske Behandling omvendt gaa ud fra de „Ele- 

 menter", hvori man efter de platoniske analytiske Principer opløste denne alminde- 

 lige Viden. Vinkler, derunder deres alt berørte Anvendelse til Bestemmelse af Pa- 

 ralleler, samt Forhold, deres Ligesforhed og Uligestorhed, Proportioner, deres Om- 

 dannelser og Kombinationer, maatte først studeres; først derefter kunde man be- 

 nytte dem til Definitioner paa ligedannede Figurer og til nu ved Konstruktion at 

 sikre sig det, man tidligere gik ud fra som selvfølgeligt, nemlig, at der existerer 

 saadanne Figurer som de definerede. Disse Existensbeviser og de dermed forbundne 

 Betingelser for Ligedannethed maatte man begynde med Anvendelsen paa Trekanter 

 for derefter at hæve sig til ligedannede retlinede Figurer i Almindelighed, om hvilke 

 der i VI. Definition 1. siges, at det er saadanne, der har Vinklerne stykkevis lige- 

 store og de i Forhold til disse ensliggende Sider proportionale. Det almindelige 

 Existensbevis føres i VI, 18. ved Løsning af følgende Opgave: Paa en given ret Linie 

 (det er: et givet begrænset Liniestykke) at tegne en retlinet Figur, som er ligedan- 

 net med en given retlinet Figur, og i hvilken Liniestykket er ensliggende med en 

 given Side i den givne Figur'). Efter at Exislensen af Figurer, svarende til hans 

 Definition paa Ligedannethed, saaledes er bevist, kan Euklid dernæst bevise de 

 øvrige Egenskaber, som man efter den almindelige Forestilling ogsaa vil tillægge 

 saadanne, nemlig, at Forhold og Vinkler mellem ensliggende Diagonaler og Sider 

 ogsaa er ligestore, og, idet han begynder med Trekanter (VI, 19.), at Figurerne selv 

 forholder sig som ensliggende Siders Kvadrater (VI, 20.). 



Da Euklid's Definition paa Ligedannethed kun gælder retlinede Figurer, har 

 han ingen Anledning til al sige, at to Cirkler altid er ligedannede; men han beviser 

 i XI, 2., at de forholder sig som Kvadraterne paa Diametrene, ved at betragte dem 

 som Grænser for ligedannede indskrevne Polygoner; Grænseovergangen sker i den 

 af Eudoxos angivne Form. Derimod giver han allerede paa et tidligere Sled, nemlig 

 i III. Bog, følgende Definition 11. paa ligedannede Cirkelafsnil : at del er saadanne, 

 der rummer ligestore Vinkler, eller, tilføjer han, i hvilke Vinklerne er ligestore. 



>) De sidste Ord skal udtrykke, hvad Euklid kalder i'ißoiwc xeI^evov. Det er vildledende, naar 

 Frøken Eibe oversætter disse Ord ved „ligedan beliggende", da herved efter den vedtagne danske ma- 

 thematiske Sprogbrug betegnes noget andet, som slet ikke vilde passe her; der siges nemlig intet om, 

 at de opgivne til hinanden svarende Liniestykker skal viere parallele. 



