165 Tillæg. 363 



Anvendelser paa geonielriske, det er: kontinuert varierende Størrelser, saa tyder 

 dette paa, al begge knytter deres exakte Bestemmelser til el gammelkendt Opera- 

 tionsmiddel. Mængden at' delvis ensformede Sætninger, som Euklid i VII.- IX. og 

 V. — VI. knytter til disse Bestemmelser, røber ogsaa en gammel Vane til at operere 

 med Proportioner, før man endnu kiinde tage saa exakte Udgangspunkter. At det 

 under en eller anden Form bar fundet Stod, forekommer mig at fremgaa af alle 

 Beretninger om den ældre græske, ja, om den ægyptiske Mathematik; de Midler 

 dertil, som virkelig bar foreligget, bar jeg fremstillet i mit IX. Kapitel. De histori- 

 ske Meddelelser om geometriske Proportioner og Sammenstillinger med arithme- 

 tiske og harmoniske Proportioner, som E. Sachs henviser til (S. 129 — 132), kan kun 

 vedrøre formelle Opstillinger. Det er vel ogsaa paa saadanne E. Sachs lægger Vægt, 

 medens jeg spørger om de Hjælpemidler, som man i Realiteten havde til Raadig- 

 bed for en saadan Opstilling. Omtalen af en saadan interesserer mig forst da, 

 naar jeg som for TnEArrETs og Eudoxos' Vedkommende kender dens Form. At 

 ogsaa Pythagoras saavelsom Thales har brugt geometriske Proportioner, slutter 

 jeg nærmest deraf, at de ikke godt har kunnet undvære dem. 



Naar i delte Tilfælde diversi respectas maaske bæver Uoverensstemmelsen mel- 

 lem E. Sachs' Henstillinger og mine Paastande, kan man forsøge al bringe et lig- 

 nende Forlig tilveje mellem E. Sachs' Udtalelser i Noten S. 95—96 og mine S. 61 

 (259) — 63 (261) om den Rolle, som Euklid's II. Bog spiller i hans System. Efter 

 min Opfattelse indskyder Euklid her i 1. — 10. den geometriske Algebra, fordi ban 

 netop bar Brug for den, medens E. Sachs synes at lade den faa sin Plads her som 

 forste Anvendelse af den pylbagoreiske Sætning, der dog kun anvendes i 9. — 10., 

 tilmed kun i det simple Tilfælde, hvor den retvinklede Trekant er ligebenet. Naar 

 imidlertid E. Sachs lilsidst fremhæver, at „die Reihenfolge, die in der Anordnung 

 der Elemente vorliegt, nicht die historische ist", saa er det ganske det samme, som 

 jeg bar gjort gældende her og allerede i „Mathematikens Historie", og ogsaa jeg 

 har da netop fremhævet (ligesom nu), at denne Omordning krævede del nye Bevis 

 I, 47 for den pylbagoreiske Sætning. De anførte Ord viser tilmed, al heller ikke 

 E. Sachs vil lade den geometriske Algebra være en Nyskabning af Euklid. Dens 

 tidligere Brug gav rent faktisk ingen Anledning til Skrupler ved Anvendelsen paa 

 inkommensurable eller overhovedet paa kontinuert varierende Størrelser. Hvor 

 tidlig man blev sig denne Fordel overfor en mere arithmelisk Behandling bevidst, 

 derpaa giver den anførte Note intet Svar, allsaa beller ikke et, som strider mod 

 mine tidligere Udtalelser derom. Hvorledes baadè Metboden og dens Anvendelse 

 yderligere maatte behandles for al kunne bygges paa euklidiske Principer, ja, 

 del udgor jo en Del af Indholdet af nærværende Skrift. Bemærkningerne om den 

 i II. Bog forekommende Behandling af del gyldne Snit skal jeg senere besvare. 



De Henstillinger i E. Sachs' Skrift, som jeg bar berørt, er dog kun fremkomne 

 som Exempter paa den Forsigtigbed, som man i det hele maa udvise overfor histo- 

 riske Overleveringer efter bendes grundige Prøvelse af Kilderne til den, der ved- 

 rører den fysiske Elemenllære og Læren om de fem regulære Polyèdre. Som Ikke- 



