Sur la réforme qu'a subie 



la mathématique de Platon à Euclide, et grâce à 



laquelle elle est devenue science raisonnée. 



Resume par H. G. Zeuthen. 



Chap. I. Sur l'étude comparative de l'histoire des mathématiques. 



La réforme qui va nous occuper demande une comparaison du savoir géométrique 

 antérieur, relevant en grande partie de l'intuition, avec la nouvelle géométrie raisonnée. Comme 

 c'est le cas pour toutes les comparaisons servant à illustrer les progrès scientifiques, celle 

 qui nous occupe ne devra pas se borner à faire paraître les avantages des nouveaux points 

 de vue et l'extension du savoir qu'ils permettent, mais s'occuper aussi de l'étendue du savoir 

 acquis antérieurement et qui allait faire l'objet des nouvelles considérations, ainsi que de la 

 nature et de la valeur des moyens qui avaient déjà permis de l'acquérir. 



Chap. IL La mathématique science raisonnée. 



Des conclusions logiques partant de suppositions plus ou moins fortuites ne suffisent 

 pas pour valoir à une science la qualification de raisonnée. Une science raisonnée doit former 

 un entier logique où l'on rend compte tant des points de départ que des conclusions qui 

 conduisent à toutes les vérités particulières. Tel est l'idéal qu'EucLioE a voulu réaliser dans 

 ses Éléments de la Géométrie. Les définitions disent ce que sont les notions; les postu- 

 lats affirment qu'il en existe qui ont certaines relations avec les autres notions définies. 

 A côté des notions communes aux différentes sciences, et dont Euclide énumère celles 

 qui servent à définir la grandeur des quantités et en particulier celle des quantités géomé- 

 triques, les dites hypothèses font les points de départ des conclusions servant à constituer la 

 théorie. Ce n'est que grâce à ces hypothèses et aux conclusions qu'on en tire successivement 

 qu'existent les figures géométriques; les dessins qui les représentent ne servent qu'à retenir 

 les figures idéales. Celles-ci sont donc des symboles qui ne possèdent que les propriétés 

 qu'on leur a attribuées expressément, et les vérités démontrées deviennent applicables à tout 

 domaine où l'on a retrouvé les mêmes propriétés fondamentales. C'est ainsi que, dans la 

 géométrie d'Euci.iDE, on a symbolisé une théorie générale des quantités, une algèbre géomé- 

 trique. Malgré la différence des sj'mboles, la géométrie d'Euci.iuE est à cet égard le modèle 

 des mathématiques modernes et d'autres sciences exactes. 



Le but qu'il avait en vue pendant la composition de ses Eléments, Euclide ne l'explique 

 pas; il faut le reconnaître par ses efi'orts pour le réaliser. Mais le même but idéal avait été 

 proposé par Platon, dont les élèves mathématiciens se mirent en devoir de l'atteindre. Les 

 Éléments d'EucLiDE contiennent le résultat final de ces efforts. 



