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Cbap. m. Les demandes adressées par PLATON à la mathématique en sa qualité do 



science raisonnée. 



La tendance théorique de la mathématique grecque avait déjà débuté par la découverte de 

 quantités irrationnelles et s'était ensuite manifestée par les recherches qui s'y rattachaient: 

 l'épreuve de la conimensurabilité de Théodore et son application, due à Théétète, pour décider 

 sur la rationalité des radicaux, la représentation géométrique des quantités qu'on ne peut exprimer 

 par des nombres. Dans son »Théétète" et dans »les Lois« Platon exprime son intérêt pour ces 

 recherches d'une nature purement théorique. Il leur doit sans doute la conviction de la 

 possibilité d'une constitution raisonnée de la mathématique entière telle qu' il la préconise 

 dans son »État«. Dans le livre VI de ce dialogue il rappelle la nécessité d'hypothèses for- 

 melles et l'immatérialité des figures géométriques. Il y revient dans le livre VII, où il s'occupe 

 de l'éducation des jeunes gens destinés au service de l'État. Il leur recommande une étude 

 des mathématiques qui n'ait pas en vue les applications pratiques, mais l'appropriation intel- 

 lectuelle {âiduoia). En commençant par l'arithmétique, il donne des notions de l'unité et du 

 nombre des explications qui leur attribuent un sens s'ap])liquant uniquement à des nombres 

 qu'il »faut penser«. Si l'on veut partager l'unité, dit-il, les mathématiciens la multiplient. 

 Cette remarque nous rappelle que, dans ses livres arithmétiques, Euclide substitue à la simple 

 formation de fractions des opérations, bien expliquées, avec des nombres entiers. Les notions 

 en question sont les mêmes qu'EucLioE définit et ajiplique dans son livre VII, qui contient 

 une partie essentielle de la démonstration du théorème de Théétète indiquant le critère de 

 la rationalité des radicaux. Il semble donc que cette démonstration ait servi à Platon de 

 modèle des exigences qu'il allait adresser à d'autres démonstrations géométriques. 



Ses remarques sur la géométrie plane n'ont rien de très particulier, et il semble assez 

 satisfait des progrès déjà faits, peut-être sous l'influence de ses propres suggestions anté- 

 rieures; mais il est très mécontent de l'état de la stéréométrie, que, selon lui, on devrait cultiver 

 avant de s'occuper, dans l'astronomie, des mouvements dans î'es])ace. Or, à cette époque les 

 connaissances sféréométriques progressaient assez rapidement; il doit donc faire allusion au 

 défaut d'un exposé raisonné. 



Chap. IV. »La méthode analytique«; »éléments«. 



Du temps de Platon on était déjà en possession d'une très grande partie du savoir 

 positif auquel conduisent les Éléments d'EucLioE; mais ces connaissance étaient dues à un 

 mélange plus ou moins fortuit d'intuitions et de conclusions. Quels moyens possédait-on 

 pour en faire une totalité logique, répondant aux exigences de Platon? 



On a attribué à Platon l'invention de la méthode analytique, quoique ses écrits ne 

 décèlent aucune connaissance des termes techniques propres à cette méthode; mais il est 

 hors de doute que les formes servant à faire ressortir l'exactitude d'une analyse, et de la 

 synthèse qui en résulte par une inversion, ont été, en tout cas, élaborées pendant l'espace de 

 temps qui sépare Platon d'EucLioE, lequel, dans ses Eléments, se sert des formes convenues 

 pour la synthèse et du langage stéréotype et précis qui y appartient, tandis que ses Data 

 sont déterminés à faciliter l'emploi de l'analyse. 



Suivant le procédé ordinaire de l'analyse, on commence par admettre comme déjà 

 trouvé ou démontré ce qu'en réalité on se propose de trouver ou de démontrer, et on en 

 tire ensuite les conséquences jusqu'à ce qu'on arrive à quelque chose qu'on possédait déjà; 

 dans la synthèse suivante on revient sur ses pas jusqu'à ce qu'on atteigne le but proposé 

 originairement. Tel est l'usage que nous faisons aujourd'hui de la méthode et celui dont se 

 servait Pappus, qui en a fait la description; mais l'emijloi de ce procédé suppose qu'on possède 

 déjà un savoir bien constaté. Pour trouver, au temps de Platon, une base logique du savoir 

 assez étendu, mais moins consolidé, qu'on possédait, il fallait employer l'analyse {)our revenir 

 des vérités composées que fournit l'intuition à des vérités de plus en plus simples jusqu'à 

 celles qu'il était impossible de décomposer ultérieurement. Avec elles on faisait les hypo- 



