l\0 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Une propriété générale des lignes tracées 

 sur une sur/ace. Noie de M. A. Demoui.ix. 



1 . Envisageons une courbe quelconque (T) tracée sur une surface (S) et 

 marquons, sur cette courbe, un point quelconque M. Soient C le centre de 

 courbure de la section normale de (S), tangente à (F), et MP la normale 

 de (T) tangente à la surface. 



Si l'on connaît le plan oscillateur co de (T) en M, il résulte du tbéorème 

 de Meusnier que l'axe a du cercle osculaleur de (T) en M est la perpendi- 

 culaire à w, issue de C. Cette droite coupe MP au centre de courbure 

 géodésique G de (T). Nous nous proposons d'établir que la connaissance 

 du plan co entraine aussi celle de la tangente en C à la ligne décrite par ce 

 point lorsque M se déplace sur (T). 



Le point C appartenant à la droite a, la tangente à la trajectoire de ce 

 point est située dans le plan normal de (T), elle coupe dès lors la droite MP 

 en un point que nous désignerons par A. 



Soit (£) la spbère dont le centre est C et qui passe par le point M. Cette 

 spbère coupe la surface (S) suivant une ligne admettant le point M comme 

 point double; une des branches de cette courbe est tangente en M à (T); 

 nous désignerons par G^ son centre de courbure géodésique en M. Cela 

 posé, les quatre points M, A, G, G s , qui appartiennent à la droite MP, 

 satisfont à la relation 



(F) (A,M,G S ,G)^|. 



Par suite, la tangente CA à la trajectoire du point C ne dépend que du 

 plan oscillateur de la courbe (T). 



2. Pour pouvoir appliquer la formule (F) à la détermination du 

 point A ( ' ), il faut connaître le point G s . La formule (F) elle-même va 

 nous permettre de le déterminer. Envisageons la ligne géodésique (T„), 

 tangente à (F) au point M. Pour cette courbe, le point G est rejeté à l'infini 

 et le point A occupe une position que nous désignerons par A . L'appli- 

 cation de la formule (F) donne 



MG^SMAo. 



(') Faisons observer que le point A esl le cenlre de la sphère qui coupe orllio- 

 gooalement la sphère (1) suivant sa caractéristique. 



