SÉANCE DU 6 JANVIER IC)l3. 4' 



Tout revient à déterminer A . Or la droite CA est perpendiculaire à 

 la droite qui joint le point C au milieu du segment rectiligne dont les 

 extrémités sont le point M et le centre de la sphère osculatrice de (T ) 

 en M. 



On peut encore déterminer le point G, comme il suit. Soient R,, R 2 les 

 rayons de courbure principaux de la surface (S) en M et *,., s., les axes des 

 lignes de courbure correspondantes. Désignons par l'angle que (T ) fait 

 avec la ligne de courbure relative à R ( . Le segment MG„ mesuré sur la 



demi-droite qui fait avec celte ligne un angle égal à Û + f . a pour expres- 

 sion 



3 (îf -if)sin0cos5 

 MG,= — r -Ai±J *il . ; . 



—. — - cos 3 -t- 3 — ; — ' cos 2 ^ si m -+- 3 — — - cos9 sin 2 9 H 2 bin'0 



os, os 2 as, as 2 



Au second membre, le numérateur est le triple de la torsion géodé- 

 sique de (T) et le dénominateur est la dérivée de la courbure de la section 

 normale tangente à (T) par rapport à l'arc de cette courbe. Il est aisé de 

 rattacher cette formule à la première détermination du point G,. 



3. Supposons que (T) soit telle que le rayon de courbure de la section 

 normale qui lui est tangente ait une valeur constante. Le segment MC étant 

 constant et orthogonal à la surface, la trajectoire du point G est orthogonale 

 à MC et le point A est rejeté à l'infini. La formule (F) donne dès lors 



MG = 1 MG ( . 



Si, en particulier, (T) est une asymptotique, la formule précédente se 

 réduit à la relation bien connue, due à Bellrami, entre le rayon de courbure 

 d'une asymptotique et celui de la section faite dans la surface par son plan 

 osculateur. 



La formule (F) peut donc être considérée comme une généralisation du 

 théorème de Beltrami; nous y avons été conduit par l'emploi d'une figure 

 de référence mobile formée de cinq sphères deux à deux orthogonales, 

 méthodes que nous avons exposée et appliquée dans plusieurs ÏVotes insérées 

 dans les Comptes rendus en 1905, 1909 et 1910. 



G. R., 1913, i« Semestre. (T. 150, N° 1.) 



6 



