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GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces irrègulières dont les genres satisfont 

 à l'inégalité p s ^i(jp a -\- 2). Note de M. A. Rosenblatt, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Dans deux travaux publiés récemment ('), j'ai poursuivi l'étude de cer- 

 taines inégalités que j'avais eu l'honneur de communiquer à l'Académie. 

 J'ai établi, notamment, l'inégalité toujours valable 



(0 Péf=^Pa 



>'l 



O 



M. Castelnuovo m'a fait remarquer que les inégalités qui permettent 

 d'établir ce résultat peuvent aussi bien servir à limiter le genre it des 

 courbes du faisceau irrationnel situé sur la surface, ainsi que le genre u' de 

 ce faisceau. On trouve, en effet, l'inégalité 



( 2 ) (7r _3 )(7T '_ 3) <_5 (/ , n „_- 2/ ,„) + , 2 . 



D'autre part, le genre it' du faisceau satisfait à l'inégalité 



(3) 



,, -,P K —iPa 



Il en résulte que les surfaces dont les genres satisfont à l'inégalité 



possèdent un faisceau de genre =p g — p a — 2 >/ J «+ 2 de courbes de genre 2. 



Si le genre de ce faisceau pouvait être inférieur à p g — p a , la surface pos- 

 séderait, d'après les théorèmes généraux de M. Severi, cc p g~ p a systèmes 

 linéaires paracanoniques, découpant des groupes de deux points sur les 

 courbes du faisceau, systèmes qui seraient alors réductibles, composés 

 d'une courbe isolée et de courbes du faisceau. 



Comme la dimension effective de ces systèmes est, d'après M. Severi, 

 au moins égale à p u , les courbes paracanoniques sont composées d'au moins 

 •xp a courbes du faisceau et d'une courbe isolée de genre au moins égal 



(') Sur certaines classes de surfaces algébriques irrégulières et sur les transfor- 

 mations birationnelles de ces surfaces en elles-mêmes (Bulletin de l'Académie des 

 Sciences de Cracovie, juillet 1912) et Sur les sur/aces algébriques irrégulières de 

 genre linéaire /; (1) > i (Prace matemalyczno-jizvcz/ie, Varsovie, t. XX111, 1912). 



