SÉANCE DU 6 JANVIER IO,l3. 4^ 



l'indice v. M. Landau a généralisé ce théorème, en démontrant la conver- 

 gence de la série sommable (i) sous la condition vh,> — A pour chaque 

 valeur de l'indice v ('). 



Voici un nouveau critère de convergence pour la série sommable (i) : 



Théorème I. — Si la série 



v = o 



est sommable par le procédé de la moyenne arithmétique, et si la série 



v = l 



est convergente, alors la série (i) est convergente ( 2 ). 



n 



Démonstration. — Soit £u v = s„. Alors 



v = o 



c _ s 4- s, + ■ ■ ■ + s, t _ ( n + i ) u + nu x -+- . . . + ti„ _ « 1 +2 m ! + ,,,+ «h„ 



o„ — ■ — ■ — s n 



« + i n -+- i n -+- i 



Il suffit donc de démontrer que la convergence de la série (2) entraîne 



(3) lim — —o. 



Soit 1 un nombre positif quelconque et p un entier positif fixe, tel 



n 



que V v |«„| 2 < e. 2 pour chaque « plus grand que p. Alors on obtient, en 



( l ) Voir Cil. de la Vallée-Poussin, Cours d'Analyse infinitésimale, i" édition, 

 t. Il, 1912, p. 1D7. 



(-) La condition (2) elle-même n'entraîne pas la convergence.de la série (1). Pré- 

 non*, en eft'et, « v = -: Alors — v|« v | 2 = 7 — - est convergente, tandis que 



vlogv ' ' -^Jv(logv)" 2 ^ 



Zm v = N — j est divergente. En prenant | « v | = — pour v = n*, et w v = o pour les 



autres valeurs de l'indice v, la série 2v|« v | 2 devient convergente, mais la condition de 

 M. Hardy, ou celle de M. Landau, n'est pas remplie. 



