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appliquant l'inégalité de M. Schwarz, 



2 «Kl- 2 v^iovi^/f 2 v ) 2 v >" 



V = /H-l v=p + \ 



"1 \ -, /« ( « -+- I ) , 



Donc 



» /> n n 



2 v i«vi 2 v i""' 2 v i" v i 2 v i"" 



v = 1 v — 1 v=;i-4-i - v = 1 



« /i n n 



et, par suite, 



s, 



^ V I "v I 



Ï2Î < 2£ 



si n est suffisamment grand. 

 2. Je veux donner une application du théorème I. Soit 



(4) /(3) = l p = tf + H— 2« v ;'' 



v = o 



une série de puissance quelconque de la variable complexe z = x -+-yi, 

 convergente pour | z ] < i . Alors on a la relation connue 



(5, // l/Wf , W , = //[(*)' + (|)'j t « = ,V, kl v., 



(t r ) (C,.| v = l 



où oSr<^i, et l'intégration est étendue au domaine (C,.) du cercle de 

 rayon r, ayant son centre dans l'origine. 



Considérons le cas intéressant où f(z) est continue pour |3|<i, et 

 w= f( z ) donne une représentation conforme du cercle |-|<i sur un 

 domaine du plan simple de la fonction w [c'est-à-dire où /(z,) ^ f(s 2 ), en 

 désignant par z, et z., deux points quelconques différents à l'intérieur du 

 cercle de rayon ij: Alors 



(CI 



donne l'aire T r de l'image du cercle (C r ) sur le plan w. Mais T r reste, dans 

 ce cas, nécessairement fini, lorsque r tend vers i. Donc, en vertu de (5), 



