SÉANCE DU 6 JANVIER I<)l3. 49 



V v |a v | 2 est convergente. Mais V </.,:;'' est, d'après mon théorème sur la 



v=i v=o 



série de Fourier, uniformément sommable pour |s| == i. Donc, en vertirdu 

 théorème I, nous obtenons le 



as 



Théorème II. — Soit /(-) = y«v- g une série de puissances de la variable 



v=o 



complexe z, qui est convergente pour |s| <i. Soit cette somme f(z), définie 

 pour | z | <[ i , continue, pour | s | = i • Supposons ( ' ) de plus que la fonction f( z ) 

 effectue une représentation conforme du cercle \z\ <^i sur un domaine du plan 



simple de la fonction f(z). Alors la série'Sa. J z' est uniformément conver- 

 gente pour |s| = i. (C'est-à-dire elle est uniformément convergente 

 pour |z|5i.) 



Dans une Communication plus étendue, je m'occuperai du cas 

 où f(z) satisfait seulement à la condition |/(s)| < const. pour |s|<[i 

 (sans être continue pour |s| = i) et livre une représentation sur le plan 

 simple du cercle \z\ < i. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe de transcendantes avant un 

 théorème de multiplication. Note de M. Georges Giraud, présentée par 

 M. Emile Picard. 



1 . Considérons les équations fonctionnelles 



(0 



Ji\ a l^\l a !^S) •••) Cif r u) 



= R,[/,(j; 1 ,^ : ,,...,.r„), /i(a7,,a; s , .... ,r„), ..., f n {x v , x lt ...,x a )] (/' = i , 2, .... n), 



où R,, R 2 , ..., R„ sont des fonctions rationnelles de f,,fïi •••> fm nulles 

 pour/, — f.,= ... —f n = o ; les fonctions inconnues /",, f 2 , .-.',/„ doivent 

 être holomorphes pour x, , x 2 , ..., x n assez petits, et nulles pour 



(') Si cette supposition sur la représentation conforme n'est pas remplie, la 

 série ^« v s v pourra être divergente pour des points partout denses sur le cercle |a|= i; 



voir l'exemple de mon travail dans les Miïnchner Sitsungsbericlite, 1910. 



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