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.r, = x. 2 = ... — a? B = o (' ). Dans le cas particulier où la transformation 

 (.r,, Xi, ..., x n ; R,, R 2 , ..., R„), que nous désignerons par C, est Irration- 

 nelle, les coefficients a t étant tous supérieurs à un en valeur absolue, on a 

 un moyen de reconnaître si les équations 



(2) /,-(.r,, j%, ...,.»•„):= A,- (t'=l, 2, ..., «), 



en .r,, .r 2 , ..., .*■„, sont compatibles : en désignant par \iQr p ce que 

 devient A ,- quand on applique à A,, A 2 , ..., A„ la substitution C - ', il faut et 

 il suffit pour cela que A, C~ p , A,C - '', ..., A„C " p tendent vers zéro quand/) 

 augmente indéfiniment ( 2 ). 



1. Je nie propose de faire voir qu'il y a une infinité de points A,, 

 A,, ..., A„ ne remplissant pas cette condition. J'étudierai ensuite comment 

 se comportent, au voisinage d'un de ces points, les fonctions ./-, , .r 2 , . .. , .r„ 

 de A,, A 2 , ...,• A„ définies par (2). 



Si A,, A 2 , ..., A„ est tel que le point A,C _/ ', A-jC - ', ..., A„C~~ / ' soit 

 indéterminé, nous le considérerons comme faisant partie d'une courbe 

 analytique (algébrique dans ce qui suivra), pour tous les points de laquelle 

 cette indétermination n'existe pas; nous transformerons cette courbe par 

 (\~ p et A,^ 7 ', A 2 Cr /J , ..., A„C" _/J seront les limites des transformées des 

 coordonnées des points voisins. Les points A,, A 2 , ..., A„ peuvent être à 

 l'infini; ,r n x 2 , ..., x n sont toujours finis, sans cela le moyen précédent 

 serait mauvais. 



On reconnaît aisément qu'en dehors de certaines courbes algébriques 

 exceptionnelles, toute courbe algébrique a pour transformées par les puis- 

 sances de G -1 des courbes algébriques déterminées, et non des points ou 

 des courbes indéterminées sur des variétés algébriques à au moins deux 

 paramètres. Soit T une de ces courbes non exceptionnelles. 



Soit p le rayon d'une sphère S de centre l'origine, dans l'espace à xn 

 dimensions, telle que le transformé par C -1 de tout point intérieur à cette 

 sphère soit intérieur à cette sphère. Soit 1 une variété algébrique à n — 1 

 paramètres complexes tout entière extérieure à S. 



( ') Ces équations fonctionnelles ont été étudiées d'abord par M. Poincaré, dans le 

 cas où tous les <z,- sont égaux {Journal de Mathématiques, 4 e série, t. VI, 1890). 

 En appliquant la méthode des approximations successives, M. Picard s'est occupé des 

 mêmes équations quand les «,- sont distincts (Bulletin de la Société mathéma/ir/tte, 

 t. XXVIII, 1900, et Comptes rendus, 4 juillet 1904). 



( - ) 11. PoincaiU:, loc. cit., p. 33g. 



