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coefficient de x p dans P,(;r). Formons l'équation caractéristique 



2C{£'=0 (t = o, I, 2. . . .. Il) 



et désignons par a,, « 2 , ..., a„ les racines de cette équation. On peut 

 trouver un système fondamental de solutions de l'équation (i) qui se repré- 

 sentent sous la forme 



(2) u(x) — I t x -*v(t)dt, 



où c(/) est une solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre p. 

 Cette équation admet pour points singuliers les points o, 00, a,, a 2 , . . ., a n . 

 Supposons, pour abréger, que ce sont des points singuliers réguliers. Pre- 

 nons, pour ligne d'intégration, un lacet partant de l'origine et y revenant 

 après avoir entouré le points,; soitt'(/) une des solutions non holomorphes 

 au voisinage de a s de l'équation différentielle. 



Dans une Note précédente (') j'ai étudié une classe d'équations qui 

 rentrent comme cas particulier dans l'équation (1) et j'ai formé des déve- 

 loppements en séries de facultés pour les solutions de ces équations. Si, 

 dans le cas actuel, on forme des séries de facultés de la même manière, 

 c'est-à-dire en intégrant terme par terme dans (2), on obtient des dévelop- 

 pements divergents qui satisfont formellement à l'équation (1) et repré- 

 sentent asyinptotiquement les solutions. Pour obtenir des développements 

 convergents il faut appliquer à l'intégrale (2) une certaine transformation 

 qui joue un rôle capital dans les recherches de M. Mittag-Leffler {-) sur 

 l'intégrale de Laplace-Abel. Soit w un nombre positif qu'il faut choisir plus 

 grand qu'une certaine constante; on trouve une solution de la forme 



(3) a s {.r) = af(~j Uo(*) + <?■(«) lo g(^ ) +• • -.+ ?/«(*) 



1 



X 



où y a (a;), . . ., cp,„(;r) sont des fonctions qui se représentent par des séries 

 de facultés de la forme 



»^)=A,+y 



A v+1 



£d ï(.t+u)..,(X + V«l) 



v=o 



Soit a,, a 2 , . ..,0^ les zéros de P (;r)et soitR(a,)^R(a :! )^H(a 3 ) : :. .. ; 

 ces séries son t a hsol u ment convergentes pourvu que l\(x — a, )>o, ll(a)>»o. 



(') Comptes rendus, 23 décembre 1912. 

 ( 2 ) Acta matkematica, t. XXIX. 



