SÉANCE DU 6 JANVIER I9l3. 53 



On trouve un système fondamental de solutions «, (x), u 2 (x), ..., u n {x) 

 de cette forme qui sont des fonctions méromorphes n'admettant d'autres 

 points singuliers à dislance finie que les pôles a, — s (i = i, 2, . . ., p; 

 s — o, 1,2, . . .). En prenant pour ligne d'intégration un lacet partant de 

 l'infini et y revenant après avoir entouré un des points a s , on trouve un 

 second système fondamental de solutions m, (x), u 2 (x), ..., u n (x) qui se 

 représentent par des développements analogues. 



Pour la singularité à l'infini, les développements (3) montrent qu'on a 

 uniformément 



/• étant un entier non négatif, et £ une constante différente de zéro. 



Pour voir comment se comportent les solutions quand x sort de l'un ou 

 l'autre de ces angles, il suffit de former les relations linéaires qui existent 

 entre les u s (x) et les u s (x). La formation de ces relations est le point capital 

 de notre étude. Ellesjouent dans la théorie des équations linéaires aux dif- 

 férences finies le même rôle que jouent les groupes des équations différentielles 

 linéaires pour ces équations. Supposons que les racines de l'équation carac- 

 téristique aient été numérotées de sorte que 



o^ Arg«,l Aigrtji. . . : A.rg«„ < 2TC. 



Soit a y une racine dordre de multiplicité /• (a t = a i+l =. . .= a ] ■ = o /+r _,). 

 A l'aide des propriétés analytiques déjà énoncées de nos solutions, on 

 établit aisément l'existence d'un système de relations de la forme 



V=n V = 1 — I 



tij(jc) = «y(-c)+^r;,(j;)«,(r)+e ! "*2 7Ç/,v(aO'M*) U= '• 2 «)» 



v = i v = 1 



_ v' p a;:, b;:; m;;, i, 



TC/',v(^) — J^ \ e -ir.,.c-7i,)_ l "+" ( e «C(Cx-â,)_,)3 +•••"*- ( e S7ii(j-a,)_ 1 )"',_]' 

 .<= 1 



/«, est égal au nombre de racines de P (j?) différant de a s par un entier et 

 non supérieures à a. s , chaque racine comptée avec son ordre de multipli- 

 cité. A,B, .. . , M sont des constantes qui s'expriment à l'aide des résidus 



