SÉANCE DU 6 JANVIER JO,l3. 5p 



écrire doivent exprimer : i° que les lignes libres du jet et les parois bordant 

 le jet sont des lignes de courant ; 2 que, sur les lignes libres, la pression est 

 constante, c'est-à-dire, en vertu des équations générales de l'Hydrodyna- 

 mique, 



V' 2 -+- igy = con st., 



V étant la vitesse au point (x, y) du bord. 



Cela étant, je démontre que le problème sera complètement résolu par 

 des quadratures, dès qu'on aura déterminé, dans un plan auxiliaire 

 Z = X -+- i Y, une fonction analytique co(Z) = -t- jt, régulière dans la 

 bande horizontale comprise entre les droites Y = o, Y = -, et vérifiant, sur 

 la frontière supérieure Y = u, une condition de la forme 



(,) A (X)^,e"+ <rsin0 = o, 



A(X) désigne ici une fonction connue de X : par exemple, pour le cas de 

 l'écoulement par déversoir, on peut prendre 



A.(X) = - 





Appelons ï'F(X) la valeur (inconnue) de la partie imaginaire il de oj 

 en un point d'abscisse X, de la frontière Y = tt:; la fonction F(X) est 

 d'ailleurs celle qui détermine l'état des vitesses du fluide sur les lignes libres. 

 Appelons de même G(X) la valeur (également inconnue) de la partie 

 réelle de co, en un point de la frontière Y = 0; la fonction G(X) est celle 

 dont dépend la forme des parois solides. On peut alors parvenir à la fonc- 

 tion cherchée oo(Z) par les observations suivantes : 



La fonction de Z 



1 z + g 



— H- où Cil . . 



I - , , 2 CIOL 





2 71.7 , Z — « ch« 

 s II 



a sa partie réelle égale à G(X) ou à zéro, sur les frontières, inférieure et 

 supérieure, respectivement. Pour Z = (ï -+- i~, sa partie imaginaire est 

 ÎH(P). 



La fonction 



[l ttl 1 



1 r + " 2 G(a) , 



