6o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



a sa partie réelle nulle sur OX, et sa partie imaginaire égale à 



( '[F((3)-H((3)] 



pour Z = (î -+- rir. Donc la fonction 



. Z + a 



(2) W(Z)= ^/ G(a) 



ch 



2 «oc 



. Z — a cli oc 

 s h 



2 71 J_ 



a[«>-u: 



*p 



a sa partie réelle égale à G(a)pour Z = a, et sa partie imaginaire égale 

 à i F((3) pour Z = (3 -+- z'tt. Elle est, de plus, régulière dans la bande consi- 

 dérée du plan Z. Ce sera la fonction cherchée si la relation (i) est satis- 

 faite sur la frontière supérieure. Mais sur celte frontière, le coefficient de i 

 est F(P), et, d'autre part, on peut mettre la partie réelle sous la forme 





Transportant dans(i), on obtient la relation qui lie les deux fonctions F 

 et G. Cette l'elation, complicpuée par rapport à F, se présente au contraire, 

 relativement à G, comme une équation de Fredholm de première espèce 

 de la forme 



(3) fJ^^^y 



J -~ ch !- "- 



1 



Mais c'est une équation singulière à laquelle ne s'appliquent pas les 

 méthodes classiques de M. Picard. 



Or on peut démontrer : 



i° Qu'une équation intégrale de la forme (3) ne peut admettre pour G 

 plus d'une solution ; 



2° Que la solution de cette équation est 



(4) G(X)= 7 Î-[#(Xh-i«)+#(JC — *»)]. 



Il en résulte la marche suivante pour la résolution du problème pos-é : 



