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peut éviter la correction tenant au diamètre en choisissant un opercule qui 

 encadre exactement la plus grande des images, l'our les images plus petites 

 il s'établit une certaine compensation entre l'augmentation de lumière 

 provenant du liséré blanc qui les sépare de l'opercule et l'augmentation de 

 leur opacité provenant de la plus grande concentration de la lumière qui 

 les a formées. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations les plus générales 

 des équations aux dérivées partielles du second ordre. Note ( ' ) de 

 M. P.-E. Gau. 



Etant données des fonctions x, y, s, x', y\ z' de deux variables u et e, je 



poserai 



M '.x _ .. d i+k y _ d i+k z _ 



Ou' th-'- — *-*' dTFà^- " r ''' ' Ou' Os" ~ - Lk ' 



d'une manière analogue, % [k , tf ik , 'Ç ik représenteront les dérivées de x' , 

 y', s'. Cela posé, considérons un système d'équations de la forme 



(I) F a (^ 1 j,s,^Yi,C;^',/, S ' ) ^,Y)',Ç')=o (« = ', ••••*) 



contenant les fonctions x, y, z, x', y', z' et leurs dérivées jusqu'à un certain 

 ordre fini. A toute surface (S'), d'équation z' = z'(x',y'), le système (I) 

 fera correspondre un certain ensemble de surfaces (S) d'équation z = z(x, y); 

 pour obtenir ces dernières on posera, par exemple, x' — u, y'= r; le sys- 

 tème (I) deviendra un système d'équations aux dérivées partielles entre les 

 fonctions x, y, z des deux variables x', y'. Toute solution de ce système, 

 s'il en existe, sera de la forme x = x(x',y' ), y =y(x', y), z = z(x',y') 

 et représentera une surface (S). De même, à toute surface (S) on peut 

 faire correspondre un ensemble de surfaces (S') par une opération analogue. 

 Les transformations ainsi définies sont évidemment réciproques. 



Eu général, le système (1) n'admettra de solution en x, y, z, que si la 

 surface (S') choisie satisfait à certaines conditions; on obtiendra ces condi- 

 tions en éliminant, entre les équations (I) et celles qu'on peut en déduire 

 par des dérivations, les fonctions inconnues r, v, ; et leurs dérivées, après 

 avoir posé x' -— u, y' = v. 



On obtiendra ainsi un système différentiel (E'); de même les surfaces (S), 



(') Reçue dans la séance du a3 décembre 1912. 



