SÉANCE DU l3 JANVIER IC)l3. I 17 



transformées par le système (1), sont les intégrales d'un système différen- 

 tiel (E) : nous dirons que les systèmes se déduisent l'un de l'autre par la 

 transformation (I). 



Je supposerai, dans ce qui suit, que les systèmes (E) et (E') se réduisent 

 respectivement à une seule équation du second ordre 



(E) /(■'•-/, =,/ J ,q, r,s,t) = o, 



(E') f(x',y' S ',p',q',r',s',t')=o, 



les lettres employées ayant leur signification habituelle. 



Les transformations définies entre ces équations par un système tel 

 que (I) sont infiniment plus générales que celles qui ont été considérées 

 jusqu'à présent, et en particulier que celles de Bàcklund. 



Trois cas peuvent se présenter : 



i° A loute intégrale de l'une îles équations, le système (1) fait correspondre un 

 ensemble d'intégrales de l'autre équation dépendant d'un nombre fini de constantes 

 arbitraires ; 



2° A toute intégrale de (E'), par exemple, correspond un ensemble d'intégrales (S) 

 dépendant d'un nombre fini de constantes arbitraires, mais il existe des intégrales (S) 

 auxquelles correspond un ensemble d'intégrales (S') dépendant d'une infinité de con- 

 stantes arbitraires; 



3° Il existe, pour chaque équation, un ensemble d'intégrales dépendant d'une infinité 

 de constantes arbitraires, tel que, à toute intégrale de l'un des groupes, correspondent 

 toutes les intégrales de l'autre groupe. 



J'ai démontré que, dans les deux premiers cas tout au moins, les trans- 

 formations considérées conservent les caractéristiques; c'est-à-dire que si 



l'on appelle 



x' = x'{t), y' = y'(t), s'==z'(t) 



les équations d'une caractéristique sur une surface ( S), et si l'on substitue 

 ces valeurs dans les équations 



x = x{x\y\ y = y(x',y'), z = s(x',y') 



d'une surface (S) correspondante, on obtient les équations d'une caracté- 

 ristique de cette surface (S). 



La méthode suivie permet également de déterminer l'ordre de celle der- 

 nière caractéristique sur la surface (S), connaissant l'ordre de la caractéris- 

 tique sur la surface (S'). 



Dans ces conditions, si l'on sait résoudre le problème de Caucby pour 

 l'une des équations (E) ou (E'), on saura le résoudre pour l'autre; les deux 



