SÉANCE DU l3 JANVIER I9l3. 1 19 



1. Un système S d'équations aux dérivées partielles peut se mettre, à 

 l'aide d'un certain nombre de dérivations et d'éliminations, sous la forme 



Un système S p de N p équations d'ordre/; indépendantes relativement 



aux dérivées d'ordre /; 

 (1) \ » S,,-t » N,,^, » p — 1 « p — 1 



» Sp-</ '> N p - q » p — q » /> — *] 



cette forme possédant diverses propriétés importantes : 



i° Toute équation d'ordre inférieur ou égal kp à laquelle satisfont toutes 

 les solutions du système est une conséquence algébrique (■) des équations 

 écrites. 



2 Le système S / , +t (X->o) des N p+k équations indépendantes d'ordre 

 p -+- A- auxquelles satisfont toutes les intégrales se déduit de S p par un pro- 

 cédé régulier. 



Les systèmes S,,, . . . , S /H . k sont respectivement linéaires par rapport aux 

 dérivées d'ordre/?, ■ . . ,p ■+- k. 



.La forme précédente peut s'obtenir par la simple application de la 

 méthode de M. Delassus. 



2. Soient x n . . . , x n les variables indépendantes ; supposons que le sys- 

 tème ne renferme qu'une fonction inconnue. Si l'on égale à zéro les formes 



caractéristiques des équations S /M Sa, in P'* . . . P'*, en y regardant les P 



comme des coordonnées courantes et les quantités figurant dans les a comme 

 des paramètres, le système algébrique obtenu représente une certaine mul- 

 tiplicité dans l'espace (P,, P 2 , ..., P„). On peut déduire d'une remarque de 

 M. Delassus ( 2 ) la suivante : la condition nécessaire et suffisante pour que 

 le théorème de M. Delassus fasse dépendre la solution de y, fonctions de 

 n -+- 1 variables, . . . , y, de n —i(i1in — 1), . .. (etd'un nombre quelconque 

 fini de constantes) est que la multiplicité précédente se compose d'une mul- 

 tiplicité à n — 1 dimensions de degré y,, ... d'une k n — i dimensions de 

 degré y,, .... Considérons seulement le cas où les arbitraires se réduisent 

 à y, fonctions de n — 1 variables (outre des constantes). Si l'on égale à zéro le 

 facteur commun H de degré y, qu'ont alors les formes caractéristiques et si 



(') Conséquence, lorsqu'on regarde les variables, les fonctions inconnues et leurs 

 dérivées comme autant de variables indépendantes. 

 ( 2 ) Comptes rendus, 1. 123, p. 546. 



C. R., iyi3, 1" Semestre. (T. 156, N» 2.) 1 1> 



