022 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



l'on pose P,= -r-> on obtient une équation définissant les surfaces 



1 J.r, * 



f(-v, , . . . , r„) = o que l'on doit appeler caractéristiques. 



.'}. Passons au cas de plusieurs fonctions inconnues, u, v, w. Soit une des 

 équations du système S y , de la forme (i) : 



^i d>'u y^ d p v ^ <)i'*r 



2j°' i -d^{...d^ lî + ± • '- dx-< ... à^a + 2s c " ■■■■■'- à*-} ... d* s + ~ °' 



et les déterminants qu'on peut former avec trois quelconques d'entre 

 elles 



Vrt P'< P 1 » V /; P'i P'» Vc P'< P«'« 



•^ "'i '„' i • • • r iii 7, w 'i, ..'„' 1 • • • * m £^ c < ,<» ' 1 • • • * » 



La condition nécessaire et suffisante pour que la solution du système S 

 dépende de fonctions arbitraires de n variables est que ces déterminants soient 

 tous identiquement nuls. 



S'il n'en est pas ainsi, le système algébrique obtenu en les égalant à zéro 

 représente dans l'espace (P,, P 2 , . . . , P„) certaines multiplicités; nous sup- 

 poserons qu'elles se réduisent à une multiplicité à n — i dimensions, de degré 

 y,, H = o; ce cas comprend celui où le théorème de M. Delassus introduit 

 y,'fonctions arbitraires de n — i variables (et des constantes), mais est plus 



large. Posons encore P,= —- > l'équation H = o définit les surfaces f ■=■ o, 



qu'on doit appeler caractéristiques. 



4. Justifions (') cette définition en nous bornant ici au point de vue 

 formel et aux circonstances générales : 



Si, pour une solution (analytique), on connaît les valeurs de u, e, w et de 

 leurs dérivées ( 2 ) jusqu'à l'ordre p — i sur une surface S passant par O, la 

 valeur de H en O n'étant pas nulle, les dérivées d'ordre p,p -+- i, . . ., sont 

 parfaitement déterminées. 



Si, pour une solution ( analytique), on connaît les valeurs de u, v, w et 

 de leurs dérivées ( 2 ) jusqu'à l'ordre/; — i, sur une surface £' passant par O, 



(') Cf. Hadamard, Leçons sur la propagation des ondes. 



( 2 ) Ces valeurs ne sonl pas arbitraires; les relations auxquelles elles satisfont, inu- 

 tiles à indiquer ici, sonl d'ailleurs de nature différente dans les deux cas. 



