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S est assurément inférieur à ô en tout étal E où (XI -h il) est inférieur 

 à(Hf +Û ). 



Prenons, en effet, un tel état E ; sans changer l'état abstraction faite des 

 températures, faisons, en tout point, croître la température & d'une même 

 quantité t donnée par l'égalité 



/ f ycfcdrn=ilH -t-Q —H — <2, 



où dm est une masse élémentaire du système et y la chaleur spécifique 

 normale de cette masse, y étant positif, en vertu du postulat de Helmholtz, 

 t est assurément positif. 



Soit E' le nouvel état; en cet état, le potentiel externe a gardé même 

 valeur ù qu'en l'état E, tandis que l'énergie interne est devenue 



■-^/T" 



dbdm, 



en sorte que l'on a 11 ' + Cl = U„ -4- O et que l'état E' est un état t. On doit 

 donc avoir 55'^ J3 . Mais, d'autre part, 



*'^ + f£ ïk) d * dm ' 



où F(!v) est la température absolue. On a donc sûrement & < ô . 



c. Q. F. D. 



Second lemme. — Si (Il + Cl) est au moins égal à (I( -h Cl ) en tout état 

 où S = & , (M -+- Cl) surpasse certainement (U + i2 ) en tout étal où S 

 surpasse ô . 



La démonstration de ce lemme est toute semblable à celle du précédent. 



Troisième lemme. — Si ô est inférieur à 6 pour tout étal t où 



K + ï> = l(„ + G„, 



(lit' -+- Cl') est supérieur à (K + ll ) pour tout état e' où & = £ . 



Prenons, en effet, un état i' et, sans rien changer à l'état, abstraction 

 faite des températures, faisons, en tout point, croître la température S 



