198 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



poserons 



(2) ■ / ,= a IJ .r, / -h P ,,(./-,, .<•,. v p ), 



en désignant par P ? une série entière dont tout terme Pl k x*x\ — r' p est tel 

 que a\a\. . .a! \ = a q si A ^ O, et où l'indice de toute variable entrant dans 

 un terme du premier degré est inférieur à q. 

 Considérons alors les équations fonctionnelles 



l/*(5i,5i l P ) 



(3) ] =R,'[/,(j7 1 ..r 2 , ...,x p ),f I (x u x i X p ), . . . ,f n {x u a?„ ...,«,,)] 



f (1=1,2, . . . , n ) , 



où/,, /",, ...,/„ sont les fonctions inconnues, assujetties à être holomorph.es 

 quand les variables x,, x 2 , ...,x p sont assez petites, et nulles quand elles 

 sont nulles. On peut chercher à développer ces fonctions en séries entières. 

 Si alors on ne s'occupe pas de la convergence des séries obtenues, ni des 

 séries P_, on constate qu'il est possible de déterminer les coefficients des P q 

 de façon à satisfaire formellement aux équations (3). C'est le théorème de 

 multiplication généralisé. 



Si le nombre des relations telles que (1) est fini, les P, sont des poly- 

 nômes; on peut voir qu'on peut alors ranger les a, dans un ordre tel que 1^ 

 ne dépende que de r,, x 2 , . . . , x q _ t . 



Si a,, a 2 , ..., a p sont tous supérieurs ou tous inférieurs à 1 en module, 

 on peut démontrer que les séries obtenues sont convergentes. On montre 

 pour cela que les coefficients sont inférieurs en valeur absolue à ceux qui 

 sont obtenus pour certaines équations de la forme (3), mais où ç,, ij s , 

 . .., \ p sont égaux respectivement à a,a? n a 3 x s , ..., a p x p . Or la conver- 

 gence des séries obtenues dans ce dernier cas a été démontrée par 

 M. Picard ('). Ces nouvelles fonctions jouissent des propriétés déjà 

 connues des anciennes. 



3. Considérons la transformation 



(D) Xi—SiÇx lt x ît '•„), (/=i,a n) 



satisfaisant aux mêmes conditions que la transformation C, et permutable à 

 celle-ci. Appliquons cette transformation aux séries (convergentes ou non) 



(') E. Picard, Sur certaines équations fonctionnelles et sur une classe de surfaces 



algébriques {Comptes rendus, l\ juillet 1 90/1 ) . 



