SÉANCE DU 20 JANVIER igi-3. 199 



satisfaisant à (3) où p = n; on satisfera aux équations 



( ( i = 1 , 2 , . . . , n ) 



en y],, Y] 2 , . . ., Y]„, en prenant pour ]y),, ïj 2 , .. ., tj b certaines séries entières 



enx., x 2 , ...,x„, car _ , '• ' y " % n'est pas nul à l'origine: mais les 



' ' ' D(ar,,.r 2 x n ) r 



transformations CD et DC étant égales, les transformations 



\Xi, X,, ..., .ï"„ ; £;,, Ç 2 , •••1 si) e ' \' v \i x it •••) ^«ï 11) *)j> •••> *)n) 



sont permutables entre elles (toujours au point de vue formel). On en 

 déduit que 



■t\ i =b i Xf J r Q/(a?i, *i,...,*«), (i*= 1, », n), 



Q, étant une série de la même forme que la série P,-; mais si les coefficients 

 des Pj- satisfont à certaines relations, les relations (1) ne sont plus forcément 

 satisfaites quand on y remplace a t par &,; mais, si elles ne le sont pas, on 

 démontre qu'un changement de variables permet de faire disparaître 

 dans Q; le terme en oc*x\...x k n si l'on n'a pas b a { b^...b' n = b h et ceci, sans 

 changer la forme des séries P,. On voit donc que les fonctions qui admettent 

 un théorème de multiplication correspondant à la transformation C en 

 admettent aussi un qui correspond à la transformation D, en faisant au 

 besoin un changement de variables, qui sera certainement inutile s'il n'y a 

 entre les a t aucune relation de la forme (1). 



4. Soit E une autre transformation satisfaisant aux mêmes conditions 

 que C et permutable à C. Supposons qu'il n'y ait entre les a t aucune 

 relation de la forme (1). Alors les fonctions f, ,f 2 , ...,/„, qui ont déjà 

 deux théorèmes de multiplication correspondant à C et D, en ont un autre 

 correspondant à E; et 



Y)j= b/Xi (pourD) et Ç,-=c,.r, (pour E), (j— 1, 2, ..., n ) 

 Mais les transformations 



(.r,, x t , ...,x n ; ïij,Y)i, ..., r, n ) et {x u x t , ...,.r„; Ç,,Ç, Ç„) 



sont permutables. Donc il en est de même de D et E. 



Si l'on avait supposé l'existence de relations (1), il aurait peut-être fallu 

 faire un changement de variables pour avoir deux théorèmes de multipli- 

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