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cation correspondant à C et D, et ce n'aurait peut-être pas été celui pour 

 lequel on a deux théorèmes correspondant à C et E : cette circonstance 

 ferait échouer la démonstration précédente; mais cette démonstration reste 

 valable si cette circonstance ne se produit pas, car la proposition est vraie 

 pour les transformations telles que (2) où les a, satisfont aux mêmes rela- 

 tions (1). 



Exemple. — Pour deux variables, la démonstration réussit si 

 et si 



Donc, le plus souvent, deux transformations permutables à une troisième 

 et ayant un même point double commun avec cette troisième sont permu- 

 tables entre elles. Mais il y a certainement des exceptions. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de Riemann dans la théorie des 

 équations aux différences finies. Note de M. Norlund, présentée par 

 M. Appel I. 



On connaît la méthode par laquelle Riemann a abordé l'étude de l'équa- 

 tion différentielle de Gauss 



^'-^S + Cy-^ + f 3 + ')<!;£: -«|3.r = o. 



En prenant un point de départ qui ressemble beaucoup à celui de Riemann, 

 j'ai étudié une classe de fonctions qui se représentent par des séries de 

 facultés hypergéométriques et qui satisfont à une équation linéaire aux 

 différences finies dont l'équation de Gauss est un cas limite. 



Je me propose de trouver une fonction ayant les propriétés suivantes : 



i° Elle est uniforme et méromorphe dans tout le plan ; 



2 Entre trois déterminations de la fonction en un même point, il existe 

 une relation linéaire ethomogène à coefficients périodiques avec la période 1 ; 



3° Il y a deux déterminations u, (x) et u,(x) de la fonction qui sont 

 holomorphes au voisinage de tout point à distance finie, en exceptant les 

 points a, a — 1, a — -2, ..., a', a'— 1, a' — 2, ..., qui sont des pôles simples; 



