SÉANCE DU 20 JANVIER IO,l3. 



ces déterminations se représentent sous la forme 



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-<->;-(=) , ['+ a ir i -]' "■<*> 



x 



•i(«) 



t,(x) et i 2 (a>) étant des fonctions qui tendent uniformément vers une 

 limite quand x tend vers l'infini le long d'une droite quelconque qui forme 



avec Taxe des nombres positifs un angle qui est, en valeur absolue, < — 



Il y a deux autres déterminations de la fonction «,(.r).et u 2 (x) qui sont 

 bolomorphes au voisinage de tout point à distance finie, en exceptant les 

 points y, y 4- 1, y + 2, . .., y', y'-n- 1, y' -1- 2, ..., qui sont des pôles simples. 

 Ces déterminations se représentent sous la forme 



/H 



».(•*)= — 



(■'•) 



u,(x) = 



e t (x) 



£,(a?) et i 2 (x) étant des fonctions qui tendent uniformément vers une 

 constante quand x tend vers l'infini le long d'une droite quelconque qui 

 forme avec l'axe des nombres négatifs un angle qui est, en valeur 



absolue, "S -• 



' - 2 



4° Entre les constantes a, a', ... il existe la relation 



|3 -h P'+ y + /=«-+-«'+ 3. 



On suppose en plus que (3 est différent de (3', mais il n'est pas nécessaire de 

 supposer que les a et les y sont différents. Si a — a' est égal à un entier 

 positif n, on suppose que les points a. — n, a. — n — 1 , a — n — 2, .. . sont 

 des pôles doubles. 



On démontre que toute fonction u(x) jouissant de ces propriétés est 

 une solution d'une équation aux différences finies, qui peut s'écrire sous 

 l'une et l'autre des deux formes suivantes 



(*-y + i)(a-/ + j)Ài, u(.z) 



+ [./■(! + j3 + (3') + (3p'+(y — a)(/- 2) -aa']A +l K(.r) 

 ( x — a — 2 ) (a? — a' — 2 ) A! , 11 (x) 



-h[j"(n-(3 + (3') — (3|3'-t-y/— ■(a+-2)-(a-'-H3)]A_ 1 «(a?) 



■ |3j3'B(a!) = o > 

 (3(3'«(a;' 



o, 



ou 



A w «(«): 



m(j" -+- m) — m(x) 



Et inversement, l'existence de notre fonction résulte de l'existence de 



