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solutions de cette équation ayant les propriétés demandées. Il est facile 

 d'obtenir des représentations analytiques de la fonction. L'équation aux 

 différences admet en effet pour solutions un très grand nombre de séries 

 hypergéométriques. Il suffit d'en écrire une; vu la symétrie remar- 

 quable de l'équation aux différences, les autres s'obtiennent par des 

 permutations et des transformations. La solution m, (a;), par exemple, se 

 représente dans le demi-plan R(.r — a') > o par le développement 



,<l( - C)= r( 1 r ( -a + (3) F(P + y ~ 0: ~'- f3+y '~ C( ~'' |3:|3 ~^ ,+ ''- r ~ g + (3) ' 

 où nous avons posé 



F(a,p,y;d,aO=zn T~ + — ^ . — , , v +•••• 



1 .OX 1 .2 0(0 -h i) x(x -h l) 



Soit £ un nombre positif; on a uniformément, dans l'angle 



71 — £ > Arg.r >-i-i-E| 

 lim .rf «,(/) — !. 



Mais quand x tend vers l'infini le long d'une droite parallèle à l'axe des 

 nombres négatifs, celte limite n'existe plus, en général. Il y a lieu de se 

 demander si l'on ne peut pas disposer des constantes a, a', . . ., de sorte que 

 la limite existe même dans ce cas pourvu que la droite ne passe pas par un 



des pôles a, a', C'est en effet possible, même d'une infinité de manières. 



On arrive ainsi à former une fonction /(x) jouissant des propriétés sui- 

 vantes : 



i° Elle est méromorphe et n'admet d'autres pôles que les points o, — -, 



— 1, ». ••■> qui sont des pôles simples. 



2 Si l'on exclut ces pôles du plan des x par de petits cercles avec un 

 rayon fixe, mais aussi petit que l'on veut, on a uniformément dans le plan 

 ainsi coupé 



lim x$f(x) == 1. 



0C= 00 



3° Il existe une série de puissances divergentes 



qui représente asymptotiquement x^/(x) dans l'angle 



71 — £ > Argx> — 7ï -I- e, 



£ étant un nombre positif. 



