SÉANCE DU 20 JANVIER IO,l3. 209 



obtenir des équations sans inconnues auxiliaires, une résolution d'équations 

 du premier degré et qu'elles ne difï'èrent, au fond, que par le moment où 

 Fou fait intervenir cette résolution dans le calcul général. La méthode 

 d'Euler-Lagrange l'exige au début. Les équations de Lagrange et celles de 

 M. Appell donnent la faculté de la faire soit au début, soit à la fin. 



ÉLASTICITÉ. — Sur un paradoxe des plaques rectangulaires uniformément 

 chargées. Note de M. Messager, présentée par M. L. Lecornu. 



Dans son très remarquable Mémoire de 1820 Sur la flexion des plans élas- 

 tiques, Navier ayant obtenu, sous forme d'une série double, une expression 

 de la flèche des plaques rectangulaires posées, supportant une charge uni- 

 formément répartie, a écrit (p. 22) : 



« La série contenue dans celte expression converge très rapidement, et l'on ne com- 

 mettra dans les applications qu'une erreur insensible en se bornant au premier terme. » 



Sa formule de la flèche est (en adoptant les notations suivantes pour la facilité des 

 comparaisons): p la charge par unité de surface, a et b les demi-côtés du rectangle, 



I le moment d'inertie de la plaque par unité de largeur, ou — et «1 le coefficient 



d'élasticité propre aux. plaques, 



a56/>a 4 è* pa'* .. 



f= — — r-^ tth, = - — r 0,0667. 



•' n"«,l(r/ 2 + /;-)- a,I ; 



Cette formule est identique à celle qu'a donnée de Saint-Venant dans les notes de 

 la traduction de la Théorie de l'élasticité, de Clebsch (p. 7/18). Dans sa Thèse de 

 Doctorat, en 1900, M. Estanave, en utilisant la méthode de Maurice Levy, qui donne 

 un développement en série simple, a obtenu, en en calculant deux termes, une expres- 

 sion inférieure d'environ 3 pour 100 à la précédente; le coefficient est de o,o65. La 

 série étant à termes décroissants alternativement positifs et négatifs, il a ajouté : 

 « Nous ne calculerons pas le troi>ième ternie, il est d'un ordre, quant à son facteur 

 numérique, supérieur à celui des pVoô* » 



Considérons une plaque circulaire de même épaisseur, de même matière, 

 reposant sur une circonférence inscriptible dans le carré ABCD. Sa flèche 

 est 



• /=: 6^i = «rï o '°7 82 - 



On aboutit donc à cette conclusion, a priori inattendue, qu'il faut ajouter 

 17 pour 100 à la flèche de la plaque carrée pour obtenir la flèche de la 

 plaque circulaire inscrite dans la plaque carrée. 



