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lions quadratiques, données par M. Hurwitz dans un Mémoire classique 

 (Math. Anna/en, Bd. 28), liant les — périodes des intégrales nor- 

 males de première espèce d'une courbe de genre p, possédant des corres- 

 pondances singulières, sont tout à fait indépendantes des — — 



relations inconnues, qui doivent être satisfaites pour que * — quantités 



puissent être regardées comme les périodes des intégrales normales d'une 

 courbe de genre/;. De sorte que les relations de M. Hurwilz ne sont pas 

 satisfaites pour la courbe la plus générale de genre/;. 



La démonstration du théorème énoncé s'appuie sur les considérations 

 suivantes : 



Au moyen du système | G | adjoint à | G |, on détermine rationnellement 

 /> intégrales abéliennes indépendantes de première espèce sur toute courbe G: 

 soit «,, iin, ..., u p . On peut ensuite définir sur toute courbe C, les périodes 

 normales (co /H , co /i/H . ( ), (m /i2 , w m+2 ), ..., ((ù Ap , 0) A . 2p ), de l'intégrale u,„ 

 relatives aux cycles (<t i ]I+i ), (<j. 2 , g p+ . 2 ), • ., (a p , G. 2p ) d'un système de 

 rétrosections riemanniennes. Lorsque ces rétrosections dérivent par conti- 

 nuité des rétrosections fixées sur une courbe particulière C, de genre p, 

 les périodes co sont définies sur toute courbe C, par un certain groupe G 

 de substitutions linéaires unimodulaires à coefficients entiers près. 



En se bornant à la considération d'un faisceau 2 de | C|, et en désignant 

 par X le paramètre qui détermine la courbe C dans le faisceau, le groupe G 

 se réduit au groupe de l'équation différentielle E de Fucbs-Picard, dont les 

 coefficients sont des fonctions rationnelles de "A, à laquelle satisfont les 

 périodes d'une intégrale abélienne de G, aux cycles a. 



Une correspondance T(a, (3) existant sur G et variable avec la courbe 

 est représentée par les relations 



/• 



(') «A(/) + - + «*(^)s^lA|!i((a!)+1I/, (A = I, 2, ...,/>), 



I '= 1 



les n hi étant, a priori, des fonctions de ~k, indépendantes de la position de x 

 sur C. Des relations (i) on déduit tout de suite 



( 2 ) ^ 7T >"'' , <>= ^] «." 



r—i, 2, ..., ip 



;— 1 



h—i, ?. p 



où les a sont des entiers indépendants de l'indice h (entiers caractéristiques 

 deT). 



