SÉANCE DU 27 JANVIER igi'i- 289 



Lorsque les tu sont données, on démontre que les -, a sont déterminées 

 univoquement les unes par les autres. 



Cela étant posé, faisons circuler le paramètre A, à partir d'une valeur 

 initiale et en y revenant. La T aboutit en général à une nouvelle correspon- 

 dance T', dont les indices sont toujours (a, fi). Mais comme dans la variation 

 continue de C et de T, les entiers a ne sauraient pas varier, les entiers carac- 

 téristiques de T' par rapport aux périodes transformées 0/, seront toujours 

 les a; tandis que les entiers caractéristiques de T, par rapport aux co, sont 

 en général des nombres a! différents des a. Toutefois, on prouve que, 

 quoique le groupe discontinu G soit d'ordre infini, les entiers à ne peuvent 

 recevoir qu'un nombre fini de systèmes de valeurs, car les correspondances 

 aux mêmes indices (a, (3), se distribuent sur C en un nombre fini de 

 systèmes continus. 



D'un autre côté, en opérant sur les co avec les substitutions génératrices 

 de G, dont M. Picard a donné la forme, on trouve, dans le cas d'une 

 surface régulière, que pour que les a ne puissent recevoir qu'un nombre 

 fini de système de valeurs, il faut que 



Cela signifie que la correspondance T a la valeur y. 



2. Lorsque la surface F a l'irrégularité q =p e — p„ > o, en déterminant 

 rationnellement sur toute C les intégrales w,, u 2 , ..., u jn au moyen du 

 système adjoint |C'| et des q intégrales simples de première espèce, 

 attachées à F, on arrive d'une façon semblable à la conclusion que les 

 systèmes continus de correspondances singulières existant sur la courbe géné- 

 rale C d'un système linéaire |C|, dont le degré soit ^>o, tracé sur F, sont 

 univoquement déterminés par /es systèmes continus de correspondances singu- 

 lières existant sur la variété de Picard attachée à F, de sorte que, lorsque 

 cette variété est tout à fait arbitraire, on a toujours seulement sur C des 

 correspondances à valeur. 



En se rappelant la notion de dépendance entre plusieurs correspondances 

 d'une même courbe (voir Hurwitz, loc. cit., et mon Mémoire dans les 

 Memorie délia R. Ace. di Torino, 1903), on voit de plus que le nombre des 

 correspondances indépendantes existant sur la susdite courbe C, ne peut pas 

 dépasser 1 q- et l'on peut toujours construire des surfaces F, pour lesquelles cette 

 limite est atteinte. 



