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ACADÉMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces algébriques qui possèdent un faisceau irra- 

 tionnel de courbes de genre i. Note de M. A. Rosenbi.att, présentée 

 par M. Emile Picard. 



I. Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, j'ai 

 fait voir que les surfaces de genres />„> ip„ -+- l\ possèdent, si elles existent, 

 un faisceau de genre p s — p a de courbes de genre 2, mais que si l'on a 

 p„ = 2/)„ + 4? et s i l es courbes du faisceau sont également de genre 2, 

 le genre du faisceau est/> A , — p„, ou bien la surface possède deux faisceaux 

 (de genres p e — p a — 2 et 2) de courbes unisécantes. J'ajouterai que, si le 

 genre des courbes dépasse le nombre 2, le genre du faisceau est numé- 

 riquement limité (=6). 



Or l'étude du système canonique algébrique qui conduit à ces résultats, 

 permet d'obtenir des renseignements 'plus précis sur les surfaces irrégu- 

 lières de genres arbitraires, possédant un faisceau irrationnel de courbes de 

 genres. En effet, si le genre it' est plus petit que p„ — p„, alors ou bien 

 il est égal kp„ — p„ — 1 , et la surface possède un système algébrique qo' de 

 courbes isolées, ou bien ce genre est égal à p s — p a — 2, et alors le système 

 algébrique se compose de ce 2 courbes isolées. 



Dans le premier cas, cesystèmeest certainement elliptique (Castelnuovo). 

 Donc la surface possède un faisceau elliptique de courbes ou bien un fais- 

 ceau composé avec une involution elliptique. Ce faisceau est nécessairement 

 différent au faisceau qui existe déjà sur la surface, car les courbes C du 

 système algébrique |Cj ne découpent pas des groupes équivalents sur les 

 courbes du faisceau ) k j donné (Severi). Donc la surface possède, outre le 

 faisceau donné, un second faisceau elliptique de courbes. Les modules des 

 courbes k ne sont pas constants, autrement la surface posséderait ou bien 

 un faisceau linéaire dont les courbes formeraient les courbes G 



( -' = />,, — />„), 



ou bien un faisceau hyperelliptique de genre 2 ("x'=pg — p a — 2). 



Dans le second cas, la variété de M. Picard, qui représente le système 

 J Cj est une surface hyperelliptique de M. Picard. Donc la surface donnée 

 est ou bien représentable sur une surface hyperelliptique de M. Picard 

 multiple avec une certaine courbe de diramation, ou bien elle possède un 

 faisceau hyperelliptique de genre 2 de courbes, ou enfin elle possède deux 



